Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97818 / 102411
↖ ↑ ↗
← S 70.622641°
E 88.665161°		 ← 101.34 m → S 70.622641°
E 88.667908°		 →
↑
101.30 m
↓
↑
101.30 m
↓
S 70.623552°
E 88.665161°		 ← 101.33 m →
10 265 m²		 S 70.623552°
E 88.667908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746295928955078 y=0.781337738037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746295928955078 × 217)
    floor (0.746295928955078 × 131072)
    floor (97818.5)     		tx = 97818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781337738037109 × 217)
    floor (0.781337738037109 × 131072)
    floor (102411.5)     		ty = 102411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97818 / 102411 ti = "17/97818/102411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97818/102411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97818 ÷ 217
    97818 ÷ 131072     		x = 0.746292114257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102411 ÷ 217
    102411 ÷ 131072     		y = 0.781333923339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746292114257812 × 2 - 1) × π
    0.492584228515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.54749899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781333923339844 × 2 - 1) × π
    -0.562667846679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.76767317348957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54749899} λ = 1.54749899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76767317348957))-π/2
    2×atan(0.17072978559901)-π/2
    2×0.169099358712883-π/2
    0.338198717425766-1.57079632675     		φ = -1.23259761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54749899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.665161°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23259761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.622641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97818 KachelY 102411 1.54749899 -1.23259761 88.665161 -70.622641
    Oben rechts KachelX + 1 97819 KachelY 102411 1.54754693 -1.23259761 88.667908 -70.622641
    Unten links KachelX 97818 KachelY + 1 102412 1.54749899 -1.23261351 88.665161 -70.623552
    Unten rechts KachelX + 1 97819 KachelY + 1 102412 1.54754693 -1.23261351 88.667908 -70.623552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23259761--1.23261351) × R
    1.58999999999576e-05 × 6371000     		dl = 101.29889999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23259761--1.23261351) × R
    1.58999999999576e-05 × 6371000     		dr = 101.29889999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54749899-1.54754693) × cos(-1.23259761) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331788383894088 × 6371000     		do = 101.33671267419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54749899-1.54754693) × cos(-1.23261351) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331773384526086 × 6371000     		du = 101.332131481118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23259761)-sin(-1.23261351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331788383894088-0.331773384526086)×R²
    abs(1.54754693-1.54749899)×1.49993680023663e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49993680023663e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49993680023663e-05×40589641000000     		ar = 10265.0654889021m²