Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97809 / 102351
↖ ↑ ↗
← S 70.567890°
E 88.640442°		 ← 101.61 m → S 70.567890°
E 88.643189°		 →
↑
101.62 m
↓
↑
101.62 m
↓
S 70.568803°
E 88.640442°		 ← 101.61 m →
10 325 m²		 S 70.568803°
E 88.643189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746227264404297 y=0.780879974365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746227264404297 × 217)
    floor (0.746227264404297 × 131072)
    floor (97809.5)     		tx = 97809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780879974365234 × 217)
    floor (0.780879974365234 × 131072)
    floor (102351.5)     		ty = 102351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97809 / 102351 ti = "17/97809/102351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97809/102351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97809 ÷ 217
    97809 ÷ 131072     		x = 0.746223449707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102351 ÷ 217
    102351 ÷ 131072     		y = 0.780876159667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746223449707031 × 2 - 1) × π
    0.492446899414062 × 3.1415926535     		Λ = 1.54706756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780876159667969 × 2 - 1) × π
    -0.561752319335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.76479695951237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54706756} λ = 1.54706756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76479695951237))-π/2
    2×atan(0.171221547862409)-π/2
    2×0.169577153739297-π/2
    0.339154307478594-1.57079632675     		φ = -1.23164202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54706756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.640442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23164202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.567890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97809 KachelY 102351 1.54706756 -1.23164202 88.640442 -70.567890
    Oben rechts KachelX + 1 97810 KachelY 102351 1.54711550 -1.23164202 88.643189 -70.567890
    Unten links KachelX 97809 KachelY + 1 102352 1.54706756 -1.23165797 88.640442 -70.568803
    Unten rechts KachelX + 1 97810 KachelY + 1 102352 1.54711550 -1.23165797 88.643189 -70.568803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23164202--1.23165797) × R
    1.59500000000978e-05 × 6371000     		dl = 101.617450000623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23164202--1.23165797) × R
    1.59500000000978e-05 × 6371000     		dr = 101.617450000623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54706756-1.54711550) × cos(-1.23164202) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.332689691766657 × 6371000     		do = 101.611995298607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54706756-1.54711550) × cos(-1.23165797) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.332674650294458 × 6371000     		du = 101.60740124583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23164202)-sin(-1.23165797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332689691766657-0.332674650294458)×R²
    abs(1.54711550-1.54706756)×1.50414721983849e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.50414721983849e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.50414721983849e-05×40589641000000     		ar = 10325.318434037m²