Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 9780 / 17907
↖ ↑ ↗
← N 62.947729°
W126.276856°		 ← 277.82 m → N 62.947729°
W126.271362°		 →
↑
277.84 m
↓
↑
277.84 m
↓
N 62.945230°
W126.276856°		 ← 277.84 m →
77 192 m²		 N 62.945230°
W126.271362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.149238586425781 y=0.273246765136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.149238586425781 × 216)
    floor (0.149238586425781 × 65536)
    floor (9780.5)     		tx = 9780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273246765136719 × 216)
    floor (0.273246765136719 × 65536)
    floor (17907.5)     		ty = 17907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9780 / 17907 ti = "16/9780/17907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9780/17907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9780 ÷ 216
    9780 ÷ 65536     		x = 0.14923095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17907 ÷ 216
    17907 ÷ 65536     		y = 0.273239135742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14923095703125 × 2 - 1) × π
    -0.7015380859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.20394690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273239135742188 × 2 - 1) × π
    0.453521728515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.42478053050731
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.20394690} λ = -2.20394690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42478053050731))-π/2
    2×atan(4.15694541993273)-π/2
    2×1.33472072793477-π/2
    2.66944145586953-1.57079632675     		φ = 1.09864513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.20394690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.276856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09864513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.947729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9780 KachelY 17907 -2.20394690 1.09864513 -126.276856 62.947729
    Oben rechts KachelX + 1 9781 KachelY 17907 -2.20385102 1.09864513 -126.271362 62.947729
    Unten links KachelX 9780 KachelY + 1 17908 -2.20394690 1.09860152 -126.276856 62.945230
    Unten rechts KachelX + 1 9781 KachelY + 1 17908 -2.20385102 1.09860152 -126.271362 62.945230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09864513-1.09860152) × R
    4.36099999998607e-05 × 6371000     		dl = 277.839309999113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09864513-1.09860152) × R
    4.36099999998607e-05 × 6371000     		dr = 277.839309999113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.20394690--2.20385102) × cos(1.09864513) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.454803174845135 × 6371000     		do = 277.817192462667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.20394690--2.20385102) × cos(1.09860152) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.454842013128825 × 6371000     		du = 277.84091688574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09864513)-sin(1.09860152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454803174845135-0.454842013128825)×R²
    abs(-2.20385102--2.20394690)×3.88382836898904e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.88382836898904e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.88382836898904e-05×40589641000000     		ar = 77191.8328608141m²