Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 978 / 495
↖ ↑ ↗
← N 67.676085°
W  8.085937°		 ← 7 424.39 m → N 67.676085°
W  7.910156°		 →
↑
7 434.96 m
↓
↑
7 434.96 m
↓
N 67.609220°
W  8.085937°		 ← 7 445.48 m →
55 278 431 m²		 N 67.609220°
W  7.910156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477783203125 y=0.241943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477783203125 × 211)
    floor (0.477783203125 × 2048)
    floor (978.5)     		tx = 978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241943359375 × 211)
    floor (0.241943359375 × 2048)
    floor (495.5)     		ty = 495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 978 / 495 ti = "11/978/495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/978/495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 978 ÷ 211
    978 ÷ 2048     		x = 0.4775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 495 ÷ 211
    495 ÷ 2048     		y = 0.24169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4775390625 × 2 - 1) × π
    -0.044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14112623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24169921875 × 2 - 1) × π
    0.5166015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.62295167353662
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14112623} λ = -0.14112623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62295167353662))-π/2
    2×atan(5.06802742341612)-π/2
    2×1.37598341379551-π/2
    2.75196682759102-1.57079632675     		φ = 1.18117050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14112623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.085937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18117050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.676085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 978 KachelY 495 -0.14112623 1.18117050 -8.085937 67.676085
    Oben rechts KachelX + 1 979 KachelY 495 -0.13805827 1.18117050 -7.910156 67.676085
    Unten links KachelX 978 KachelY + 1 496 -0.14112623 1.18000350 -8.085937 67.609220
    Unten rechts KachelX + 1 979 KachelY + 1 496 -0.13805827 1.18000350 -7.910156 67.609220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18117050-1.18000350) × R
    0.00116699999999992 × 6371000     		dl = 7434.95699999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18117050-1.18000350) × R
    0.00116699999999992 × 6371000     		dr = 7434.95699999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14112623--0.13805827) × cos(1.18117050) × R
    0.00306795999999998 × 0.37984231232963 × 6371000     		do = 7424.38764182724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14112623--0.13805827) × cos(1.18000350) × R
    0.00306795999999998 × 0.380921588243505 × 6371000     		du = 7445.48313987208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18117050)-sin(1.18000350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37984231232963-0.380921588243505)×R²
    abs(-0.13805827--0.14112623)×0.00107927591387508×R²
    0.00306795999999998×0.00107927591387508×6371000²
    0.00306795999999998×0.00107927591387508×40589641000000     		ar = 55278431.2023269m²