Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 978 / 472
↖ ↑ ↗
← N 69.162558°
W  8.085937°		 ← 6 952.85 m → N 69.162558°
W  7.910156°		 →
↑
6 962.80 m
↓
↑
6 962.80 m
↓
N 69.099940°
W  8.085937°		 ← 6 972.81 m →
48 480 816 m²		 N 69.099940°
W  7.910156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477783203125 y=0.230712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477783203125 × 211)
    floor (0.477783203125 × 2048)
    floor (978.5)     		tx = 978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230712890625 × 211)
    floor (0.230712890625 × 2048)
    floor (472.5)     		ty = 472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 978 / 472 ti = "11/978/472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/978/472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 978 ÷ 211
    978 ÷ 2048     		x = 0.4775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 472 ÷ 211
    472 ÷ 2048     		y = 0.23046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4775390625 × 2 - 1) × π
    -0.044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14112623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23046875 × 2 - 1) × π
    0.5390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69351478977734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14112623} λ = -0.14112623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69351478977734))-π/2
    2×atan(5.43856255521356)-π/2
    2×1.38895534068768-π/2
    2.77791068137535-1.57079632675     		φ = 1.20711435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14112623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.085937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20711435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.162558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 978 KachelY 472 -0.14112623 1.20711435 -8.085937 69.162558
    Oben rechts KachelX + 1 979 KachelY 472 -0.13805827 1.20711435 -7.910156 69.162558
    Unten links KachelX 978 KachelY + 1 473 -0.14112623 1.20602146 -8.085937 69.099940
    Unten rechts KachelX + 1 979 KachelY + 1 473 -0.13805827 1.20602146 -7.910156 69.099940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20711435-1.20602146) × R
    0.00109288999999979 × 6371000     		dl = 6962.80218999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20711435-1.20602146) × R
    0.00109288999999979 × 6371000     		dr = 6962.80218999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14112623--0.13805827) × cos(1.20711435) × R
    0.00306795999999998 × 0.355717787996262 × 6371000     		do = 6952.85033670947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14112623--0.13805827) × cos(1.20602146) × R
    0.00306795999999998 × 0.356738983156393 × 6371000     		du = 6972.81058990051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20711435)-sin(1.20602146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355717787996262-0.356738983156393)×R²
    abs(-0.13805827--0.14112623)×0.00102119516013122×R²
    0.00306795999999998×0.00102119516013122×6371000²
    0.00306795999999998×0.00102119516013122×40589641000000     		ar = 48480816.02398m²