Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 978 / 399
↖ ↑ ↗
← N 73.277353°
W  8.085937°		 ← 5 624.14 m → N 73.277353°
W  7.910156°		 →
↑
5 632.41 m
↓
↑
5 632.41 m
↓
N 73.226700°
W  8.085937°		 ← 5 640.69 m →
31 724 067 m²		 N 73.226700°
W  7.910156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477783203125 y=0.195068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477783203125 × 211)
    floor (0.477783203125 × 2048)
    floor (978.5)     		tx = 978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195068359375 × 211)
    floor (0.195068359375 × 2048)
    floor (399.5)     		ty = 399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 978 / 399 ti = "11/978/399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/978/399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 978 ÷ 211
    978 ÷ 2048     		x = 0.4775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 399 ÷ 211
    399 ÷ 2048     		y = 0.19482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4775390625 × 2 - 1) × π
    -0.044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14112623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19482421875 × 2 - 1) × π
    0.6103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.91747598480225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14112623} λ = -0.14112623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91747598480225))-π/2
    2×atan(6.80376397516161)-π/2
    2×1.42486370364976-π/2
    2.84972740729952-1.57079632675     		φ = 1.27893108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14112623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.085937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27893108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.277353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 978 KachelY 399 -0.14112623 1.27893108 -8.085937 73.277353
    Oben rechts KachelX + 1 979 KachelY 399 -0.13805827 1.27893108 -7.910156 73.277353
    Unten links KachelX 978 KachelY + 1 400 -0.14112623 1.27804701 -8.085937 73.226700
    Unten rechts KachelX + 1 979 KachelY + 1 400 -0.13805827 1.27804701 -7.910156 73.226700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27893108-1.27804701) × R
    0.000884069999999904 × 6371000     		dl = 5632.40996999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27893108-1.27804701) × R
    0.000884069999999904 × 6371000     		dr = 5632.40996999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14112623--0.13805827) × cos(1.27893108) × R
    0.00306795999999998 × 0.287739087951381 × 6371000     		do = 5624.14049018053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14112623--0.13805827) × cos(1.27804701) × R
    0.00306795999999998 × 0.288585657047466 × 6371000     		du = 5640.68750701071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27893108)-sin(1.27804701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287739087951381-0.288585657047466)×R²
    abs(-0.13805827--0.14112623)×0.00084656909608577×R²
    0.00306795999999998×0.00084656909608577×6371000²
    0.00306795999999998×0.00084656909608577×40589641000000     		ar = 31724066.8271008m²