Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 978 / 1234
↖ ↑ ↗
← S 34.597042°
W  8.085937°		 ← 16.090 km → S 34.597042°
W  7.910156°		 →
↑
16.076 km
↓
↑
16.076 km
↓
S 34.741613°
W  8.085937°		 ← 16.062 km →
258.424 km²		 S 34.741613°
W  7.910156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477783203125 y=0.602783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477783203125 × 211)
    floor (0.477783203125 × 2048)
    floor (978.5)     		tx = 978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602783203125 × 211)
    floor (0.602783203125 × 2048)
    floor (1234.5)     		ty = 1234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 978 / 1234 ti = "11/978/1234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/978/1234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 978 ÷ 211
    978 ÷ 2048     		x = 0.4775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1234 ÷ 211
    1234 ÷ 2048     		y = 0.6025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4775390625 × 2 - 1) × π
    -0.044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14112623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6025390625 × 2 - 1) × π
    -0.205078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.644271930893555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14112623} λ = -0.14112623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.644271930893555))-π/2
    2×atan(0.525044671786337)-π/2
    2×0.483482020452084-π/2
    0.966964040904168-1.57079632675     		φ = -0.60383229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14112623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.085937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60383229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.597042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 978 KachelY 1234 -0.14112623 -0.60383229 -8.085937 -34.597042
    Oben rechts KachelX + 1 979 KachelY 1234 -0.13805827 -0.60383229 -7.910156 -34.597042
    Unten links KachelX 978 KachelY + 1 1235 -0.14112623 -0.60635553 -8.085937 -34.741613
    Unten rechts KachelX + 1 979 KachelY + 1 1235 -0.13805827 -0.60635553 -7.910156 -34.741613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60383229--0.60635553) × R
    0.00252323999999993 × 6371000     		dl = 16075.5620399995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60383229--0.60635553) × R
    0.00252323999999993 × 6371000     		dr = 16075.5620399995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14112623--0.13805827) × cos(-0.60383229) × R
    0.00306795999999998 × 0.823165685885591 × 6371000     		do = 16089.5744025527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14112623--0.13805827) × cos(-0.60635553) × R
    0.00306795999999998 × 0.821730368153368 × 6371000     		du = 16061.5197206826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60383229)-sin(-0.60635553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.823165685885591-0.821730368153368)×R²
    abs(-0.13805827--0.14112623)×0.00143531773222338×R²
    0.00306795999999998×0.00143531773222338×6371000²
    0.00306795999999998×0.00143531773222338×40589641000000     		ar = 258423591.225637m²