Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97794 / 103938
↖ ↑ ↗
← S 71.967088°
E 88.599243°		 ← 94.53 m → S 71.967088°
E 88.601989°		 →
↑
94.55 m
↓
↑
94.55 m
↓
S 71.967938°
E 88.599243°		 ← 94.52 m →
8 937 m²		 S 71.967938°
E 88.601989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746112823486328 y=0.792987823486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746112823486328 × 217)
    floor (0.746112823486328 × 131072)
    floor (97794.5)     		tx = 97794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.792987823486328 × 217)
    floor (0.792987823486328 × 131072)
    floor (103938.5)     		ty = 103938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97794 / 103938 ti = "17/97794/103938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97794/103938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97794 ÷ 217
    97794 ÷ 131072     		x = 0.746109008789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103938 ÷ 217
    103938 ÷ 131072     		y = 0.792984008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746109008789062 × 2 - 1) × π
    0.492218017578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.54634851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.792984008789062 × 2 - 1) × π
    -0.585968017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.8408728192094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54634851} λ = 1.54634851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8408728192094))-π/2
    2×atan(0.158678867683651)-π/2
    2×0.157366841814797-π/2
    0.314733683629595-1.57079632675     		φ = -1.25606264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54634851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.599243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25606264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.967088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97794 KachelY 103938 1.54634851 -1.25606264 88.599243 -71.967088
    Oben rechts KachelX + 1 97795 KachelY 103938 1.54639644 -1.25606264 88.601989 -71.967088
    Unten links KachelX 97794 KachelY + 1 103939 1.54634851 -1.25607748 88.599243 -71.967938
    Unten rechts KachelX + 1 97795 KachelY + 1 103939 1.54639644 -1.25607748 88.601989 -71.967938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25606264--1.25607748) × R
    1.48400000001825e-05 × 6371000     		dl = 94.5456400011626m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25606264--1.25607748) × R
    1.48400000001825e-05 × 6371000     		dr = 94.5456400011626m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54634851-1.54639644) × cos(-1.25606264) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.309563250613013 × 6371000     		do = 94.5288626206462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54634851-1.54639644) × cos(-1.25607748) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.309549139536742 × 6371000     		du = 94.5245536337506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25606264)-sin(-1.25607748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309563250613013-0.309549139536742)×R²
    abs(1.54639644-1.54634851)×1.41110762711949e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.41110762711949e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.41110762711949e-05×40589641000000     		ar = 8937.0881172058m²