Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 97792 / 103936
↖ ↑ ↗
← S 71.965388°
E 88.593750°		 ← 94.56 m → S 71.965388°
E 88.596497°		 →
↑
94.55 m
↓
↑
94.55 m
↓
S 71.966238°
E 88.593750°		 ← 94.55 m →
8 940 m²		 S 71.966238°
E 88.596497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746097564697266 y=0.792972564697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746097564697266 × 217)
    floor (0.746097564697266 × 131072)
    floor (97792.5)     		tx = 97792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.792972564697266 × 217)
    floor (0.792972564697266 × 131072)
    floor (103936.5)     		ty = 103936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97792 / 103936 ti = "17/97792/103936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97792/103936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97792 ÷ 217
    97792 ÷ 131072     		x = 0.74609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103936 ÷ 217
    103936 ÷ 131072     		y = 0.79296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74609375 × 2 - 1) × π
    0.4921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.54625263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79296875 × 2 - 1) × π
    -0.5859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.84077694541016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54625263} λ = 1.54625263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.84077694541016))-π/2
    2×atan(0.158694081558849)-π/2
    2×0.157381681993559-π/2
    0.314763363987118-1.57079632675     		φ = -1.25603296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54625263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25603296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.965388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97792 KachelY 103936 1.54625263 -1.25603296 88.593750 -71.965388
    Oben rechts KachelX + 1 97793 KachelY 103936 1.54630057 -1.25603296 88.596497 -71.965388
    Unten links KachelX 97792 KachelY + 1 103937 1.54625263 -1.25604780 88.593750 -71.966238
    Unten rechts KachelX + 1 97793 KachelY + 1 103937 1.54630057 -1.25604780 88.596497 -71.966238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25603296--1.25604780) × R
    1.48399999999604e-05 × 6371000     		dl = 94.545639999748m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25603296--1.25604780) × R
    1.48399999999604e-05 × 6371000     		dr = 94.545639999748m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54625263-1.54630057) × cos(-1.25603296) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.30959147256103 × 6371000     		do = 94.5572046050184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54625263-1.54630057) × cos(-1.25604780) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.30957736162111 × 6371000     		du = 94.5528947607511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25603296)-sin(-1.25604780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30959147256103-0.30957736162111)×R²
    abs(1.54630057-1.54625263)×1.41109399203754e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.41109399203754e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.41109399203754e-05×40589641000000     		ar = 8939.76768758928m²