Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97792 / 102398
↖ ↑ ↗
← S 70.610790°
E 88.593750°		 ← 101.40 m → S 70.610790°
E 88.596497°		 →
↑
101.43 m
↓
↑
101.43 m
↓
S 70.611703°
E 88.593750°		 ← 101.39 m →
10 284 m²		 S 70.611703°
E 88.596497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746097564697266 y=0.781238555908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746097564697266 × 217)
    floor (0.746097564697266 × 131072)
    floor (97792.5)     		tx = 97792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781238555908203 × 217)
    floor (0.781238555908203 × 131072)
    floor (102398.5)     		ty = 102398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97792 / 102398 ti = "17/97792/102398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97792/102398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97792 ÷ 217
    97792 ÷ 131072     		x = 0.74609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102398 ÷ 217
    102398 ÷ 131072     		y = 0.781234741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74609375 × 2 - 1) × π
    0.4921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.54625263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781234741210938 × 2 - 1) × π
    -0.562469482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76704999379451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54625263} λ = 1.54625263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76704999379451))-π/2
    2×atan(0.170836214093331)-π/2
    2×0.169202770998256-π/2
    0.338405541996513-1.57079632675     		φ = -1.23239078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54625263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23239078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.610790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97792 KachelY 102398 1.54625263 -1.23239078 88.593750 -70.610790
    Oben rechts KachelX + 1 97793 KachelY 102398 1.54630057 -1.23239078 88.596497 -70.610790
    Unten links KachelX 97792 KachelY + 1 102399 1.54625263 -1.23240670 88.593750 -70.611703
    Unten rechts KachelX + 1 97793 KachelY + 1 102399 1.54630057 -1.23240670 88.596497 -70.611703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23239078--1.23240670) × R
    1.59200000000581e-05 × 6371000     		dl = 101.42632000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23239078--1.23240670) × R
    1.59200000000581e-05 × 6371000     		dr = 101.42632000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54625263-1.54630057) × cos(-1.23239078) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.33198349067079 × 6371000     		do = 101.396303306312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54625263-1.54630057) × cos(-1.23240670) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.331968473528393 × 6371000     		du = 101.391716684483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23239078)-sin(-1.23240670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33198349067079-0.331968473528393)×R²
    abs(1.54630057-1.54625263)×1.50171423975998e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.50171423975998e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.50171423975998e-05×40589641000000     		ar = 10284.021304208m²