Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 97788 / 102399
↖ ↑ ↗
← S 70.611703°
E 88.582764°		 ← 101.37 m → S 70.611703°
E 88.585510°		 →
↑
101.36 m
↓
↑
101.36 m
↓
S 70.612614°
E 88.582764°		 ← 101.37 m →
10 275 m²		 S 70.612614°
E 88.585510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746067047119141 y=0.781246185302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746067047119141 × 217)
    floor (0.746067047119141 × 131072)
    floor (97788.5)     		tx = 97788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781246185302734 × 217)
    floor (0.781246185302734 × 131072)
    floor (102399.5)     		ty = 102399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97788 / 102399 ti = "17/97788/102399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97788/102399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97788 ÷ 217
    97788 ÷ 131072     		x = 0.746063232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102399 ÷ 217
    102399 ÷ 131072     		y = 0.781242370605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746063232421875 × 2 - 1) × π
    0.49212646484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.54606089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781242370605469 × 2 - 1) × π
    -0.562484741210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.76709793069413
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54606089} λ = 1.54606089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76709793069413))-π/2
    2×atan(0.170828024931168)-π/2
    2×0.169194814048632-π/2
    0.338389628097264-1.57079632675     		φ = -1.23240670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54606089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.582764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23240670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.611703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97788 KachelY 102399 1.54606089 -1.23240670 88.582764 -70.611703
    Oben rechts KachelX + 1 97789 KachelY 102399 1.54610882 -1.23240670 88.585510 -70.611703
    Unten links KachelX 97788 KachelY + 1 102400 1.54606089 -1.23242261 88.582764 -70.612614
    Unten rechts KachelX + 1 97789 KachelY + 1 102400 1.54610882 -1.23242261 88.585510 -70.612614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23240670--1.23242261) × R
    1.59099999998968e-05 × 6371000     		dl = 101.362609999343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23240670--1.23242261) × R
    1.59099999998968e-05 × 6371000     		dr = 101.362609999343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54606089-1.54610882) × cos(-1.23240670) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.331968473528393 × 6371000     		do = 101.370566972693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54606089-1.54610882) × cos(-1.23242261) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.331953465734817 × 6371000     		du = 101.365984162381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23240670)-sin(-1.23242261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331968473528393-0.331953465734817)×R²
    abs(1.54610882-1.54606089)×1.5007793575994e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5007793575994e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5007793575994e-05×40589641000000     		ar = 10274.9529828419m²