Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97785 / 102392
↖ ↑ ↗
← S 70.605319°
E 88.574524°		 ← 101.40 m → S 70.605319°
E 88.577270°		 →
↑
101.36 m
↓
↑
101.36 m
↓
S 70.606231°
E 88.574524°		 ← 101.40 m →
10 278 m²		 S 70.606231°
E 88.577270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746044158935547 y=0.781192779541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746044158935547 × 217)
    floor (0.746044158935547 × 131072)
    floor (97785.5)     		tx = 97785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781192779541016 × 217)
    floor (0.781192779541016 × 131072)
    floor (102392.5)     		ty = 102392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97785 / 102392 ti = "17/97785/102392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97785/102392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97785 ÷ 217
    97785 ÷ 131072     		x = 0.746040344238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102392 ÷ 217
    102392 ÷ 131072     		y = 0.78118896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746040344238281 × 2 - 1) × π
    0.492080688476562 × 3.1415926535     		Λ = 1.54591708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78118896484375 × 2 - 1) × π
    -0.5623779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76676237239679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54591708} λ = 1.54591708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76676237239679))-π/2
    2×atan(0.170885357310991)-π/2
    2×0.169250520252445-π/2
    0.33850104050489-1.57079632675     		φ = -1.23229529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54591708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.574524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23229529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.605319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97785 KachelY 102392 1.54591708 -1.23229529 88.574524 -70.605319
    Oben rechts KachelX + 1 97786 KachelY 102392 1.54596501 -1.23229529 88.577270 -70.605319
    Unten links KachelX 97785 KachelY + 1 102393 1.54591708 -1.23231120 88.574524 -70.606231
    Unten rechts KachelX + 1 97786 KachelY + 1 102393 1.54596501 -1.23231120 88.577270 -70.606231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23229529--1.23231120) × R
    1.59100000001189e-05 × 6371000     		dl = 101.362610000757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23229529--1.23231120) × R
    1.59100000001189e-05 × 6371000     		dr = 101.362610000757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54591708-1.54596501) × cos(-1.23229529) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.332073563460497 × 6371000     		do = 101.402657447693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54591708-1.54596501) × cos(-1.23231120) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.332058556255426 × 6371000     		du = 101.398074817088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23229529)-sin(-1.23231120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332073563460497-0.332058556255426)×R²
    abs(1.54596501-1.54591708)×1.50072050712491e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50072050712491e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50072050712491e-05×40589641000000     		ar = 10278.2057663465m²