Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97785 / 102391
↖ ↑ ↗
← S 70.604407°
E 88.574524°		 ← 101.41 m → S 70.604407°
E 88.577270°		 →
↑
101.43 m
↓
↑
101.43 m
↓
S 70.605319°
E 88.574524°		 ← 101.40 m →
10 285 m²		 S 70.605319°
E 88.577270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746044158935547 y=0.781185150146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746044158935547 × 217)
    floor (0.746044158935547 × 131072)
    floor (97785.5)     		tx = 97785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781185150146484 × 217)
    floor (0.781185150146484 × 131072)
    floor (102391.5)     		ty = 102391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97785 / 102391 ti = "17/97785/102391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97785/102391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97785 ÷ 217
    97785 ÷ 131072     		x = 0.746040344238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102391 ÷ 217
    102391 ÷ 131072     		y = 0.781181335449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746040344238281 × 2 - 1) × π
    0.492080688476562 × 3.1415926535     		Λ = 1.54591708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781181335449219 × 2 - 1) × π
    -0.562362670898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.76671443549717
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54591708} λ = 1.54591708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76671443549717))-π/2
    2×atan(0.170893549221557)-π/2
    2×0.169258479721016-π/2
    0.338516959442033-1.57079632675     		φ = -1.23227937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54591708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.574524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23227937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.604407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97785 KachelY 102391 1.54591708 -1.23227937 88.574524 -70.604407
    Oben rechts KachelX + 1 97786 KachelY 102391 1.54596501 -1.23227937 88.577270 -70.604407
    Unten links KachelX 97785 KachelY + 1 102392 1.54591708 -1.23229529 88.574524 -70.605319
    Unten rechts KachelX + 1 97786 KachelY + 1 102392 1.54596501 -1.23229529 88.577270 -70.605319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23227937--1.23229529) × R
    1.59199999998361e-05 × 6371000     		dl = 101.426319998956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23227937--1.23229529) × R
    1.59199999998361e-05 × 6371000     		dr = 101.426319998956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54591708-1.54596501) × cos(-1.23227937) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.332088580013993 × 6371000     		do = 101.407242932952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54591708-1.54596501) × cos(-1.23229529) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.332073563460497 × 6371000     		du = 101.402657447693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23227937)-sin(-1.23229529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332088580013993-0.332073563460497)×R²
    abs(1.54596501-1.54591708)×1.50165534958946e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50165534958946e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50165534958946e-05×40589641000000     		ar = 10285.1309277399m²