Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 97779 / 102383
↖ ↑ ↗
← S 70.597109°
E 88.558044°		 ← 101.47 m → S 70.597109°
E 88.560791°		 →
↑
101.43 m
↓
↑
101.43 m
↓
S 70.598021°
E 88.558044°		 ← 101.46 m →
10 291 m²		 S 70.598021°
E 88.560791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745998382568359 y=0.781124114990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745998382568359 × 217)
    floor (0.745998382568359 × 131072)
    floor (97779.5)     		tx = 97779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781124114990234 × 217)
    floor (0.781124114990234 × 131072)
    floor (102383.5)     		ty = 102383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97779 / 102383 ti = "17/97779/102383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97779/102383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97779 ÷ 217
    97779 ÷ 131072     		x = 0.745994567871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102383 ÷ 217
    102383 ÷ 131072     		y = 0.781120300292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745994567871094 × 2 - 1) × π
    0.491989135742188 × 3.1415926535     		Λ = 1.54562945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781120300292969 × 2 - 1) × π
    -0.562240600585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.76633094030021
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54562945} λ = 1.54562945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76633094030021))-π/2
    2×atan(0.170959098645016)-π/2
    2×0.169322168427423-π/2
    0.338644336854847-1.57079632675     		φ = -1.23215199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54562945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.558044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23215199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.597109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97779 KachelY 102383 1.54562945 -1.23215199 88.558044 -70.597109
    Oben rechts KachelX + 1 97780 KachelY 102383 1.54567739 -1.23215199 88.560791 -70.597109
    Unten links KachelX 97779 KachelY + 1 102384 1.54562945 -1.23216791 88.558044 -70.598021
    Unten rechts KachelX + 1 97780 KachelY + 1 102384 1.54567739 -1.23216791 88.560791 -70.598021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23215199--1.23216791) × R
    1.59200000000581e-05 × 6371000     		dl = 101.42632000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23215199--1.23216791) × R
    1.59200000000581e-05 × 6371000     		dr = 101.42632000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54562945-1.54567739) × cos(-1.23215199) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332208728275761 × 6371000     		do = 101.465096668017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54562945-1.54567739) × cos(-1.23216791) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.33219371239581 × 6371000     		du = 101.460510431771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23215199)-sin(-1.23216791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332208728275761-0.33219371239581)×R²
    abs(1.54567739-1.54562945)×1.50158799505085e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50158799505085e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50158799505085e-05×40589641000000     		ar = 10290.9987811686m²