Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97778 / 102386
↖ ↑ ↗
← S 70.599846°
E 88.555298°		 ← 101.43 m → S 70.599846°
E 88.558044°		 →
↑
101.43 m
↓
↑
101.43 m
↓
S 70.600758°
E 88.555298°		 ← 101.43 m →
10 287 m²		 S 70.600758°
E 88.558044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745990753173828 y=0.781147003173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745990753173828 × 217)
    floor (0.745990753173828 × 131072)
    floor (97778.5)     		tx = 97778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781147003173828 × 217)
    floor (0.781147003173828 × 131072)
    floor (102386.5)     		ty = 102386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97778 / 102386 ti = "17/97778/102386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97778/102386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97778 ÷ 217
    97778 ÷ 131072     		x = 0.745986938476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102386 ÷ 217
    102386 ÷ 131072     		y = 0.781143188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745986938476562 × 2 - 1) × π
    0.491973876953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.54558152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781143188476562 × 2 - 1) × π
    -0.562286376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.76647475099907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54558152} λ = 1.54558152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76647475099907))-π/2
    2×atan(0.170934514665326)-π/2
    2×0.169298282462758-π/2
    0.338596564925516-1.57079632675     		φ = -1.23219976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54558152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.555298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23219976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.599846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97778 KachelY 102386 1.54558152 -1.23219976 88.555298 -70.599846
    Oben rechts KachelX + 1 97779 KachelY 102386 1.54562945 -1.23219976 88.558044 -70.599846
    Unten links KachelX 97778 KachelY + 1 102387 1.54558152 -1.23221568 88.555298 -70.600758
    Unten rechts KachelX + 1 97779 KachelY + 1 102387 1.54562945 -1.23221568 88.558044 -70.600758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23219976--1.23221568) × R
    1.59199999998361e-05 × 6371000     		dl = 101.426319998956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23219976--1.23221568) × R
    1.59199999998361e-05 × 6371000     		dr = 101.426319998956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54558152-1.54562945) × cos(-1.23219976) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.332163670951115 × 6371000     		do = 101.430172853947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54558152-1.54562945) × cos(-1.23221568) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.332148654818544 × 6371000     		du = 101.425587497222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23219976)-sin(-1.23221568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332163670951115-0.332148654818544)×R²
    abs(1.54562945-1.54558152)×1.50161325717102e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50161325717102e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50161325717102e-05×40589641000000     		ar = 10287.4566317663m²