Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97767 / 101273
↖ ↑ ↗
← S 69.558512°
E 88.525085°		 ← 106.67 m → S 69.558512°
E 88.527832°		 →
↑
106.65 m
↓
↑
106.65 m
↓
S 69.559471°
E 88.525085°		 ← 106.67 m →
11 376 m²		 S 69.559471°
E 88.527832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745906829833984 y=0.772655487060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745906829833984 × 217)
    floor (0.745906829833984 × 131072)
    floor (97767.5)     		tx = 97767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772655487060547 × 217)
    floor (0.772655487060547 × 131072)
    floor (101273.5)     		ty = 101273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97767 / 101273 ti = "17/97767/101273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97767/101273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97767 ÷ 217
    97767 ÷ 131072     		x = 0.745903015136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101273 ÷ 217
    101273 ÷ 131072     		y = 0.772651672363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745903015136719 × 2 - 1) × π
    0.491806030273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.54505421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772651672363281 × 2 - 1) × π
    -0.545303344726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.71312098172195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54505421} λ = 1.54505421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71312098172195))-π/2
    2×atan(0.180302193732626)-π/2
    2×0.178385632732279-π/2
    0.356771265464558-1.57079632675     		φ = -1.21402506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54505421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.525085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21402506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.558512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97767 KachelY 101273 1.54505421 -1.21402506 88.525085 -69.558512
    Oben rechts KachelX + 1 97768 KachelY 101273 1.54510215 -1.21402506 88.527832 -69.558512
    Unten links KachelX 97767 KachelY + 1 101274 1.54505421 -1.21404180 88.525085 -69.559471
    Unten rechts KachelX + 1 97768 KachelY + 1 101274 1.54510215 -1.21404180 88.527832 -69.559471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21402506--1.21404180) × R
    1.67399999999596e-05 × 6371000     		dl = 106.650539999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21402506--1.21404180) × R
    1.67399999999596e-05 × 6371000     		dr = 106.650539999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54505421-1.54510215) × cos(-1.21402506) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349250641195901 × 6371000     		do = 106.670135532663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54505421-1.54510215) × cos(-1.21404180) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349234955275765 × 6371000     		du = 106.665344648898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21402506)-sin(-1.21404180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349250641195901-0.349234955275765)×R²
    abs(1.54510215-1.54505421)×1.56859201357329e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56859201357329e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56859201357329e-05×40589641000000     		ar = 11376.1720814406m²