Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97734 / 101303
↖ ↑ ↗
← S 69.587270°
E 88.434448°		 ← 106.53 m → S 69.587270°
E 88.437195°		 →
↑
106.52 m
↓
↑
106.52 m
↓
S 69.588228°
E 88.434448°		 ← 106.52 m →
11 347 m²		 S 69.588228°
E 88.437195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745655059814453 y=0.772884368896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745655059814453 × 217)
    floor (0.745655059814453 × 131072)
    floor (97734.5)     		tx = 97734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772884368896484 × 217)
    floor (0.772884368896484 × 131072)
    floor (101303.5)     		ty = 101303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97734 / 101303 ti = "17/97734/101303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97734/101303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97734 ÷ 217
    97734 ÷ 131072     		x = 0.745651245117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101303 ÷ 217
    101303 ÷ 131072     		y = 0.772880554199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745651245117188 × 2 - 1) × π
    0.491302490234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.54347229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772880554199219 × 2 - 1) × π
    -0.545761108398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.71455908871055
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54347229} λ = 1.54347229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71455908871055))-π/2
    2×atan(0.18004308624456)-π/2
    2×0.178134671978648-π/2
    0.356269343957296-1.57079632675     		φ = -1.21452698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54347229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.434448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21452698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.587270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97734 KachelY 101303 1.54347229 -1.21452698 88.434448 -69.587270
    Oben rechts KachelX + 1 97735 KachelY 101303 1.54352023 -1.21452698 88.437195 -69.587270
    Unten links KachelX 97734 KachelY + 1 101304 1.54347229 -1.21454370 88.434448 -69.588228
    Unten rechts KachelX + 1 97735 KachelY + 1 101304 1.54352023 -1.21454370 88.437195 -69.588228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21452698--1.21454370) × R
    1.67199999998591e-05 × 6371000     		dl = 106.523119999102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21452698--1.21454370) × R
    1.67199999998591e-05 × 6371000     		dr = 106.523119999102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54347229-1.54352023) × cos(-1.21452698) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348780283455561 × 6371000     		do = 106.526476171755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54347229-1.54352023) × cos(-1.21454370) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348764613347221 × 6371000     		du = 106.521690117319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21452698)-sin(-1.21454370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348780283455561-0.348764613347221)×R²
    abs(1.54352023-1.54347229)×1.56701083396937e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56701083396937e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56701083396937e-05×40589641000000     		ar = 11347.2776919309m²