Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97728 / 102083
↖ ↑ ↗
← S 70.321513°
E 88.417969°		 ← 102.85 m → S 70.321513°
E 88.420715°		 →
↑
102.83 m
↓
↑
102.83 m
↓
S 70.322438°
E 88.417969°		 ← 102.84 m →
10 576 m²		 S 70.322438°
E 88.420715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745609283447266 y=0.778835296630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745609283447266 × 217)
    floor (0.745609283447266 × 131072)
    floor (97728.5)     		tx = 97728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778835296630859 × 217)
    floor (0.778835296630859 × 131072)
    floor (102083.5)     		ty = 102083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97728 / 102083 ti = "17/97728/102083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97728/102083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97728 ÷ 217
    97728 ÷ 131072     		x = 0.74560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102083 ÷ 217
    102083 ÷ 131072     		y = 0.778831481933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74560546875 × 2 - 1) × π
    0.4912109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.54318467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778831481933594 × 2 - 1) × π
    -0.557662963867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.75194987041419
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54318467} λ = 1.54318467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75194987041419))-π/2
    2×atan(0.173435436908549)-π/2
    2×0.171727192084857-π/2
    0.343454384169715-1.57079632675     		φ = -1.22734194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54318467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.417969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22734194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.321513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97728 KachelY 102083 1.54318467 -1.22734194 88.417969 -70.321513
    Oben rechts KachelX + 1 97729 KachelY 102083 1.54323261 -1.22734194 88.420715 -70.321513
    Unten links KachelX 97728 KachelY + 1 102084 1.54318467 -1.22735808 88.417969 -70.322438
    Unten rechts KachelX + 1 97729 KachelY + 1 102084 1.54323261 -1.22735808 88.420715 -70.322438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22734194--1.22735808) × R
    1.61399999998313e-05 × 6371000     		dl = 102.827939998925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22734194--1.22735808) × R
    1.61399999998313e-05 × 6371000     		dr = 102.827939998925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54318467-1.54323261) × cos(-1.22734194) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.33674173521802 × 6371000     		do = 102.84959366778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54318467-1.54323261) × cos(-1.22735808) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.33672653779778 × 6371000     		du = 102.844951984458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22734194)-sin(-1.22735808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33674173521802-0.33672653779778)×R²
    abs(1.54323261-1.54318467)×1.51974202398653e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51974202398653e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51974202398653e-05×40589641000000     		ar = 10575.5731994849m²