Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97725 / 102081
↖ ↑ ↗
← S 70.319664°
E 88.409729°		 ← 102.86 m → S 70.319664°
E 88.412476°		 →
↑
102.83 m
↓
↑
102.83 m
↓
S 70.320588°
E 88.409729°		 ← 102.85 m →
10 577 m²		 S 70.320588°
E 88.412476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745586395263672 y=0.778820037841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745586395263672 × 217)
    floor (0.745586395263672 × 131072)
    floor (97725.5)     		tx = 97725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778820037841797 × 217)
    floor (0.778820037841797 × 131072)
    floor (102081.5)     		ty = 102081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97725 / 102081 ti = "17/97725/102081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97725/102081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97725 ÷ 217
    97725 ÷ 131072     		x = 0.745582580566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102081 ÷ 217
    102081 ÷ 131072     		y = 0.778816223144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745582580566406 × 2 - 1) × π
    0.491165161132812 × 3.1415926535     		Λ = 1.54304086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778816223144531 × 2 - 1) × π
    -0.557632446289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.75185399661495
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54304086} λ = 1.54304086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75185399661495))-π/2
    2×atan(0.173452065619925)-π/2
    2×0.171743335168138-π/2
    0.343486670336277-1.57079632675     		φ = -1.22730966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54304086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.409729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22730966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.319664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97725 KachelY 102081 1.54304086 -1.22730966 88.409729 -70.319664
    Oben rechts KachelX + 1 97726 KachelY 102081 1.54308880 -1.22730966 88.412476 -70.319664
    Unten links KachelX 97725 KachelY + 1 102082 1.54304086 -1.22732580 88.409729 -70.320588
    Unten rechts KachelX + 1 97726 KachelY + 1 102082 1.54308880 -1.22732580 88.412476 -70.320588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22730966--1.22732580) × R
    1.61400000000533e-05 × 6371000     		dl = 102.82794000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22730966--1.22732580) × R
    1.61400000000533e-05 × 6371000     		dr = 102.82794000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54304086-1.54308880) × cos(-1.22730966) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336772129795333 × 6371000     		do = 102.858876954048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54304086-1.54308880) × cos(-1.22732580) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336756932550539 × 6371000     		du = 102.854235324311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22730966)-sin(-1.22732580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336772129795333-0.336756932550539)×R²
    abs(1.54308880-1.54304086)×1.51972447938742e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51972447938742e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51972447938742e-05×40589641000000     		ar = 10576.5277834906m²