Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97720 / 101305
↖ ↑ ↗
← S 69.589186°
E 88.395996°		 ← 106.49 m → S 69.589186°
E 88.398742°		 →
↑
106.52 m
↓
↑
106.52 m
↓
S 69.590144°
E 88.395996°		 ← 106.49 m →
11 344 m²		 S 69.590144°
E 88.398742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745548248291016 y=0.772899627685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745548248291016 × 217)
    floor (0.745548248291016 × 131072)
    floor (97720.5)     		tx = 97720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772899627685547 × 217)
    floor (0.772899627685547 × 131072)
    floor (101305.5)     		ty = 101305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97720 / 101305 ti = "17/97720/101305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97720/101305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97720 ÷ 217
    97720 ÷ 131072     		x = 0.74554443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101305 ÷ 217
    101305 ÷ 131072     		y = 0.772895812988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74554443359375 × 2 - 1) × π
    0.4910888671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.54280118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772895812988281 × 2 - 1) × π
    -0.545791625976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.71465496250979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54280118} λ = 1.54280118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71465496250979))-π/2
    2×atan(0.180025825657287)-π/2
    2×0.178117953284468-π/2
    0.356235906568936-1.57079632675     		φ = -1.21456042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54280118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.395996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21456042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.589186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97720 KachelY 101305 1.54280118 -1.21456042 88.395996 -69.589186
    Oben rechts KachelX + 1 97721 KachelY 101305 1.54284911 -1.21456042 88.398742 -69.589186
    Unten links KachelX 97720 KachelY + 1 101306 1.54280118 -1.21457714 88.395996 -69.590144
    Unten rechts KachelX + 1 97721 KachelY + 1 101306 1.54284911 -1.21457714 88.398742 -69.590144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21456042--1.21457714) × R
    1.67200000000811e-05 × 6371000     		dl = 106.523120000517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21456042--1.21457714) × R
    1.67200000000811e-05 × 6371000     		dr = 106.523120000517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54280118-1.54284911) × cos(-1.21456042) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.348748943141381 × 6371000     		do = 106.494685237579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54280118-1.54284911) × cos(-1.21457714) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.348733272838046 × 6371000     		du = 106.489900121941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21456042)-sin(-1.21457714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348748943141381-0.348733272838046)×R²
    abs(1.54284911-1.54280118)×1.56703033357131e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.56703033357131e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.56703033357131e-05×40589641000000     		ar = 11343.8912725754m²