Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 97719 / 101269
↖ ↑ ↗
← S 69.554675°
E 88.393249°		 ← 106.69 m → S 69.554675°
E 88.395996°		 →
↑
106.65 m
↓
↑
106.65 m
↓
S 69.555634°
E 88.393249°		 ← 106.68 m →
11 378 m²		 S 69.555634°
E 88.395996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745540618896484 y=0.772624969482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745540618896484 × 217)
    floor (0.745540618896484 × 131072)
    floor (97719.5)     		tx = 97719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772624969482422 × 217)
    floor (0.772624969482422 × 131072)
    floor (101269.5)     		ty = 101269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97719 / 101269 ti = "17/97719/101269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97719/101269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97719 ÷ 217
    97719 ÷ 131072     		x = 0.745536804199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101269 ÷ 217
    101269 ÷ 131072     		y = 0.772621154785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745536804199219 × 2 - 1) × π
    0.491073608398438 × 3.1415926535     		Λ = 1.54275324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772621154785156 × 2 - 1) × π
    -0.545242309570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.71292923412347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54275324} λ = 1.54275324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71292923412347))-π/2
    2×atan(0.180336769560085)-π/2
    2×0.17841911972626-π/2
    0.356838239452519-1.57079632675     		φ = -1.21395809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54275324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.393249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21395809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.554675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97719 KachelY 101269 1.54275324 -1.21395809 88.393249 -69.554675
    Oben rechts KachelX + 1 97720 KachelY 101269 1.54280118 -1.21395809 88.395996 -69.554675
    Unten links KachelX 97719 KachelY + 1 101270 1.54275324 -1.21397483 88.393249 -69.555634
    Unten rechts KachelX + 1 97720 KachelY + 1 101270 1.54280118 -1.21397483 88.395996 -69.555634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21395809--1.21397483) × R
    1.67399999999596e-05 × 6371000     		dl = 106.650539999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21395809--1.21397483) × R
    1.67399999999596e-05 × 6371000     		dr = 106.650539999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54275324-1.54280118) × cos(-1.21395809) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.349313393267763 × 6371000     		do = 106.689301631142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54275324-1.54280118) × cos(-1.21397483) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.349297707739191 × 6371000     		du = 106.68451086697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21395809)-sin(-1.21397483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349313393267763-0.349297707739191)×R²
    abs(1.54280118-1.54275324)×1.5685528572229e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.5685528572229e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.5685528572229e-05×40589641000000     		ar = 11378.2161627291m²