Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97712 / 102352
↖ ↑ ↗
← S 70.568803°
E 88.374023°		 ← 101.61 m → S 70.568803°
E 88.376770°		 →
↑
101.55 m
↓
↑
101.55 m
↓
S 70.569717°
E 88.374023°		 ← 101.60 m →
10 318 m²		 S 70.569717°
E 88.376770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745487213134766 y=0.780887603759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745487213134766 × 217)
    floor (0.745487213134766 × 131072)
    floor (97712.5)     		tx = 97712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780887603759766 × 217)
    floor (0.780887603759766 × 131072)
    floor (102352.5)     		ty = 102352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97712 / 102352 ti = "17/97712/102352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97712/102352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97712 ÷ 217
    97712 ÷ 131072     		x = 0.7454833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102352 ÷ 217
    102352 ÷ 131072     		y = 0.7808837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7454833984375 × 2 - 1) × π
    0.490966796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.54241768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7808837890625 × 2 - 1) × π
    -0.561767578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.76484489641199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54241768} λ = 1.54241768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76484489641199))-π/2
    2×atan(0.171213340228982)-π/2
    2×0.169569179863338-π/2
    0.339138359726677-1.57079632675     		φ = -1.23165797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54241768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.374023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23165797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.568803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97712 KachelY 102352 1.54241768 -1.23165797 88.374023 -70.568803
    Oben rechts KachelX + 1 97713 KachelY 102352 1.54246562 -1.23165797 88.376770 -70.568803
    Unten links KachelX 97712 KachelY + 1 102353 1.54241768 -1.23167391 88.374023 -70.569717
    Unten rechts KachelX + 1 97713 KachelY + 1 102353 1.54246562 -1.23167391 88.376770 -70.569717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23165797--1.23167391) × R
    1.59399999999366e-05 × 6371000     		dl = 101.553739999596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23165797--1.23167391) × R
    1.59399999999366e-05 × 6371000     		dr = 101.553739999596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54241768-1.54246562) × cos(-1.23165797) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332674650294458 × 6371000     		do = 101.60740124536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54241768-1.54246562) × cos(-1.23167391) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332659618168097 × 6371000     		du = 101.602810047042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23165797)-sin(-1.23167391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332674650294458-0.332659618168097)×R²
    abs(1.54246562-1.54241768)×1.50321263617803e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50321263617803e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50321263617803e-05×40589641000000     		ar = 10318.3784815564m²