Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97711 / 102321
↖ ↑ ↗
← S 70.540458°
E 88.371277°		 ← 101.73 m → S 70.540458°
E 88.374023°		 →
↑
101.74 m
↓
↑
101.74 m
↓
S 70.541373°
E 88.371277°		 ← 101.72 m →
10 350 m²		 S 70.541373°
E 88.374023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745479583740234 y=0.780651092529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745479583740234 × 217)
    floor (0.745479583740234 × 131072)
    floor (97711.5)     		tx = 97711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780651092529297 × 217)
    floor (0.780651092529297 × 131072)
    floor (102321.5)     		ty = 102321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97711 / 102321 ti = "17/97711/102321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97711/102321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97711 ÷ 217
    97711 ÷ 131072     		x = 0.745475769042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102321 ÷ 217
    102321 ÷ 131072     		y = 0.780647277832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745475769042969 × 2 - 1) × π
    0.490951538085938 × 3.1415926535     		Λ = 1.54236975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780647277832031 × 2 - 1) × π
    -0.561294555664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.76335885252377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54236975} λ = 1.54236975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76335885252377))-π/2
    2×atan(0.171467959907964)-π/2
    2×0.169816537704048-π/2
    0.339633075408097-1.57079632675     		φ = -1.23116325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54236975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.371277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23116325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.540458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97711 KachelY 102321 1.54236975 -1.23116325 88.371277 -70.540458
    Oben rechts KachelX + 1 97712 KachelY 102321 1.54241768 -1.23116325 88.374023 -70.540458
    Unten links KachelX 97711 KachelY + 1 102322 1.54236975 -1.23117922 88.371277 -70.541373
    Unten rechts KachelX + 1 97712 KachelY + 1 102322 1.54241768 -1.23117922 88.374023 -70.541373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23116325--1.23117922) × R
    1.59699999999763e-05 × 6371000     		dl = 101.744869999849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23116325--1.23117922) × R
    1.59699999999763e-05 × 6371000     		dr = 101.744869999849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54236975-1.54241768) × cos(-1.23116325) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.333141151135951 × 6371000     		do = 101.728658187473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54236975-1.54241768) × cos(-1.23117922) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.333126093348319 × 6371000     		du = 101.724060110874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23116325)-sin(-1.23117922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333141151135951-0.333126093348319)×R²
    abs(1.54241768-1.54236975)×1.50577876321112e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50577876321112e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50577876321112e-05×40589641000000     		ar = 10350.1351873363m²