Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 97704 / 101324
↖ ↑ ↗
← S 69.607378°
E 88.352051°		 ← 106.40 m → S 69.607378°
E 88.354797°		 →
↑
106.40 m
↓
↑
106.40 m
↓
S 69.608335°
E 88.352051°		 ← 106.40 m →
11 321 m²		 S 69.608335°
E 88.354797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745426177978516 y=0.773044586181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745426177978516 × 217)
    floor (0.745426177978516 × 131072)
    floor (97704.5)     		tx = 97704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773044586181641 × 217)
    floor (0.773044586181641 × 131072)
    floor (101324.5)     		ty = 101324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97704 / 101324 ti = "17/97704/101324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97704/101324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97704 ÷ 217
    97704 ÷ 131072     		x = 0.74542236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101324 ÷ 217
    101324 ÷ 131072     		y = 0.773040771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74542236328125 × 2 - 1) × π
    0.4908447265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.54203419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773040771484375 × 2 - 1) × π
    -0.54608154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71556576360257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54203419} λ = 1.54203419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71556576360257))-π/2
    2×atan(0.179861932586873)-π/2
    2×0.177959200594652-π/2
    0.355918401189305-1.57079632675     		φ = -1.21487793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54203419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.352051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21487793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.607378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97704 KachelY 101324 1.54203419 -1.21487793 88.352051 -69.607378
    Oben rechts KachelX + 1 97705 KachelY 101324 1.54208212 -1.21487793 88.354797 -69.607378
    Unten links KachelX 97704 KachelY + 1 101325 1.54203419 -1.21489463 88.352051 -69.608335
    Unten rechts KachelX + 1 97705 KachelY + 1 101325 1.54208212 -1.21489463 88.354797 -69.608335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21487793--1.21489463) × R
    1.66999999999806e-05 × 6371000     		dl = 106.395699999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21487793--1.21489463) × R
    1.66999999999806e-05 × 6371000     		dr = 106.395699999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54203419-1.54208212) × cos(-1.21487793) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.348451350056807 × 6371000     		do = 106.403811609159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54203419-1.54208212) × cos(-1.21489463) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.34843569664953 × 6371000     		du = 106.399031652937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21487793)-sin(-1.21489463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348451350056807-0.34843569664953)×R²
    abs(1.54208212-1.54203419)×1.56534072772718e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.56534072772718e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.56534072772718e-05×40589641000000     		ar = 11320.6537357411m²