Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97701 / 101322
↖ ↑ ↗
← S 69.605464°
E 88.343811°		 ← 106.41 m → S 69.605464°
E 88.346557°		 →
↑
106.40 m
↓
↑
106.40 m
↓
S 69.606421°
E 88.343811°		 ← 106.41 m →
11 322 m²		 S 69.606421°
E 88.346557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745403289794922 y=0.773029327392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745403289794922 × 217)
    floor (0.745403289794922 × 131072)
    floor (97701.5)     		tx = 97701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773029327392578 × 217)
    floor (0.773029327392578 × 131072)
    floor (101322.5)     		ty = 101322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97701 / 101322 ti = "17/97701/101322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97701/101322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97701 ÷ 217
    97701 ÷ 131072     		x = 0.745399475097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101322 ÷ 217
    101322 ÷ 131072     		y = 0.773025512695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745399475097656 × 2 - 1) × π
    0.490798950195312 × 3.1415926535     		Λ = 1.54189038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773025512695312 × 2 - 1) × π
    -0.546051025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71546988980333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54189038} λ = 1.54189038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71546988980333))-π/2
    2×atan(0.179879177460342)-π/2
    2×0.177975905022798-π/2
    0.355951810045596-1.57079632675     		φ = -1.21484452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54189038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.343811°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21484452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.605464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97701 KachelY 101322 1.54189038 -1.21484452 88.343811 -69.605464
    Oben rechts KachelX + 1 97702 KachelY 101322 1.54193831 -1.21484452 88.346557 -69.605464
    Unten links KachelX 97701 KachelY + 1 101323 1.54189038 -1.21486122 88.343811 -69.606421
    Unten rechts KachelX + 1 97702 KachelY + 1 101323 1.54193831 -1.21486122 88.346557 -69.606421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21484452--1.21486122) × R
    1.66999999999806e-05 × 6371000     		dl = 106.395699999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21484452--1.21486122) × R
    1.66999999999806e-05 × 6371000     		dr = 106.395699999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54189038-1.54193831) × cos(-1.21484452) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.348482665952971 × 6371000     		do = 106.413374295276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54189038-1.54193831) × cos(-1.21486122) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.348467012740115 × 6371000     		du = 106.408594398423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21484452)-sin(-1.21486122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348482665952971-0.348467012740115)×R²
    abs(1.54193831-1.54189038)×1.56532128555154e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.56532128555154e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.56532128555154e-05×40589641000000     		ar = 11321.6711676152m²