Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97700 / 101321
↖ ↑ ↗
← S 69.604506°
E 88.341064°		 ← 106.44 m → S 69.604506°
E 88.343811°		 →
↑
106.46 m
↓
↑
106.46 m
↓
S 69.605464°
E 88.341064°		 ← 106.44 m →
11 331 m²		 S 69.605464°
E 88.343811°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745395660400391 y=0.773021697998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745395660400391 × 217)
    floor (0.745395660400391 × 131072)
    floor (97700.5)     		tx = 97700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773021697998047 × 217)
    floor (0.773021697998047 × 131072)
    floor (101321.5)     		ty = 101321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97700 / 101321 ti = "17/97700/101321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97700/101321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97700 ÷ 217
    97700 ÷ 131072     		x = 0.745391845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101321 ÷ 217
    101321 ÷ 131072     		y = 0.773017883300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745391845703125 × 2 - 1) × π
    0.49078369140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.54184244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773017883300781 × 2 - 1) × π
    -0.546035766601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.71542195290371
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54184244} λ = 1.54184244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71542195290371))-π/2
    2×atan(0.179887800517095)-π/2
    2×0.177984257799811-π/2
    0.355968515599623-1.57079632675     		φ = -1.21482781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54184244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.341064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21482781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.604506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97700 KachelY 101321 1.54184244 -1.21482781 88.341064 -69.604506
    Oben rechts KachelX + 1 97701 KachelY 101321 1.54189038 -1.21482781 88.343811 -69.604506
    Unten links KachelX 97700 KachelY + 1 101322 1.54184244 -1.21484452 88.341064 -69.605464
    Unten rechts KachelX + 1 97701 KachelY + 1 101322 1.54189038 -1.21484452 88.343811 -69.605464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21482781--1.21484452) × R
    1.67099999999198e-05 × 6371000     		dl = 106.459409999489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21482781--1.21484452) × R
    1.67099999999198e-05 × 6371000     		dr = 106.459409999489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54184244-1.54189038) × cos(-1.21482781) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348498328441732 × 6371000     		do = 106.440359853009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54184244-1.54189038) × cos(-1.21484452) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348482665952971 × 6371000     		du = 106.435576125789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21482781)-sin(-1.21484452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348498328441732-0.348482665952971)×R²
    abs(1.54189038-1.54184244)×1.56624887611145e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56624887611145e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56624887611145e-05×40589641000000     		ar = 11331.3232738887m²