Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97700 / 101320
↖ ↑ ↗
← S 69.603549°
E 88.341064°		 ← 106.45 m → S 69.603549°
E 88.343811°		 →
↑
106.46 m
↓
↑
106.46 m
↓
S 69.604506°
E 88.341064°		 ← 106.44 m →
11 332 m²		 S 69.604506°
E 88.343811°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745395660400391 y=0.773014068603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745395660400391 × 217)
    floor (0.745395660400391 × 131072)
    floor (97700.5)     		tx = 97700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773014068603516 × 217)
    floor (0.773014068603516 × 131072)
    floor (101320.5)     		ty = 101320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97700 / 101320 ti = "17/97700/101320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97700/101320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97700 ÷ 217
    97700 ÷ 131072     		x = 0.745391845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101320 ÷ 217
    101320 ÷ 131072     		y = 0.77301025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745391845703125 × 2 - 1) × π
    0.49078369140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.54184244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77301025390625 × 2 - 1) × π
    -0.5460205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.71537401600409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54184244} λ = 1.54184244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71537401600409))-π/2
    2×atan(0.179896423987221)-π/2
    2×0.177992610952137-π/2
    0.355985221904275-1.57079632675     		φ = -1.21481110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54184244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.341064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21481110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.603549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97700 KachelY 101320 1.54184244 -1.21481110 88.341064 -69.603549
    Oben rechts KachelX + 1 97701 KachelY 101320 1.54189038 -1.21481110 88.343811 -69.603549
    Unten links KachelX 97700 KachelY + 1 101321 1.54184244 -1.21482781 88.341064 -69.604506
    Unten rechts KachelX + 1 97701 KachelY + 1 101321 1.54189038 -1.21482781 88.343811 -69.604506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21481110--1.21482781) × R
    1.67100000001419e-05 × 6371000     		dl = 106.459410000904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21481110--1.21482781) × R
    1.67100000001419e-05 × 6371000     		dr = 106.459410000904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54184244-1.54189038) × cos(-1.21481110) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348513990833184 × 6371000     		do = 106.445143550509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54184244-1.54189038) × cos(-1.21482781) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348498328441732 × 6371000     		du = 106.440359853009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21481110)-sin(-1.21482781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348513990833184-0.348498328441732)×R²
    abs(1.54189038-1.54184244)×1.56623914522314e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56623914522314e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56623914522314e-05×40589641000000     		ar = 11331.8325453969m²