Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 977 / 613
↖ ↑ ↗
← N 58.355631°
W  8.261719°		 ← 10.255 km → N 58.355631°
W  8.085937°		 →
↑
10.268 km
↓
↑
10.268 km
↓
N 58.263287°
W  8.261719°		 ← 10.282 km →
105.434 km²		 N 58.263287°
W  8.085937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477294921875 y=0.299560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477294921875 × 211)
    floor (0.477294921875 × 2048)
    floor (977.5)     		tx = 977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299560546875 × 211)
    floor (0.299560546875 × 2048)
    floor (613.5)     		ty = 613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 977 / 613 ti = "11/977/613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/977/613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 977 ÷ 211
    977 ÷ 2048     		x = 0.47705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 613 ÷ 211
    613 ÷ 2048     		y = 0.29931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47705078125 × 2 - 1) × π
    -0.0458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14419419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29931640625 × 2 - 1) × π
    0.4013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.26093220760596
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14419419} λ = -0.14419419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26093220760596))-π/2
    2×atan(3.52870944438127)-π/2
    2×1.29464710684189-π/2
    2.58929421368379-1.57079632675     		φ = 1.01849789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14419419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.261719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01849789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.355631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 977 KachelY 613 -0.14419419 1.01849789 -8.261719 58.355631
    Oben rechts KachelX + 1 978 KachelY 613 -0.14112623 1.01849789 -8.085937 58.355631
    Unten links KachelX 977 KachelY + 1 614 -0.14419419 1.01688619 -8.261719 58.263287
    Unten rechts KachelX + 1 978 KachelY + 1 614 -0.14112623 1.01688619 -8.085937 58.263287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01849789-1.01688619) × R
    0.00161169999999999 × 6371000     		dl = 10268.1407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01849789-1.01688619) × R
    0.00161169999999999 × 6371000     		dr = 10268.1407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14419419--0.14112623) × cos(1.01849789) × R
    0.00306796000000001 × 0.524645320306961 × 6371000     		do = 10254.7033492395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14419419--0.14112623) × cos(1.01688619) × R
    0.00306796000000001 × 0.526016712216751 × 6371000     		du = 10281.5085387001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01849789)-sin(1.01688619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524645320306961-0.526016712216751)×R²
    abs(-0.14112623--0.14419419)×0.00137139190978997×R²
    0.00306796000000001×0.00137139190978997×6371000²
    0.00306796000000001×0.00137139190978997×40589641000000     		ar = 105434379.378019m²