Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 977 / 1339
↖ ↑ ↗
← N 76.237366°
W137.065430°		 ← 1 162.50 m → N 76.237366°
W137.021484°		 →
↑
1 162.96 m
↓
↑
1 162.96 m
↓
N 76.226907°
W137.065430°		 ← 1 163.36 m →
1 352 444 m²		 N 76.226907°
W137.021484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.11932373046875 y=0.16351318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.11932373046875 × 213)
    floor (0.11932373046875 × 8192)
    floor (977.5)     		tx = 977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16351318359375 × 213)
    floor (0.16351318359375 × 8192)
    floor (1339.5)     		ty = 1339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 977 / 1339 ti = "13/977/1339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/977/1339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 977 ÷ 213
    977 ÷ 8192     		x = 0.1192626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1339 ÷ 213
    1339 ÷ 8192     		y = 0.1634521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1192626953125 × 2 - 1) × π
    -0.761474609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.39224304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1634521484375 × 2 - 1) × π
    0.673095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.11459251603992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39224304} λ = -2.39224304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11459251603992))-π/2
    2×atan(8.28620858100491)-π/2
    2×1.45069468734435-π/2
    2.9013893746887-1.57079632675     		φ = 1.33059305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39224304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.065430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33059305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.237366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 977 KachelY 1339 -2.39224304 1.33059305 -137.065430 76.237366
    Oben rechts KachelX + 1 978 KachelY 1339 -2.39147605 1.33059305 -137.021484 76.237366
    Unten links KachelX 977 KachelY + 1 1340 -2.39224304 1.33041051 -137.065430 76.226907
    Unten rechts KachelX + 1 978 KachelY + 1 1340 -2.39147605 1.33041051 -137.021484 76.226907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33059305-1.33041051) × R
    0.000182539999999953 × 6371000     		dl = 1162.9623399997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33059305-1.33041051) × R
    0.000182539999999953 × 6371000     		dr = 1162.9623399997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39224304--2.39147605) × cos(1.33059305) × R
    0.000766989999999801 × 0.237900071984955 × 6371000     		do = 1162.4971054447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39224304--2.39147605) × cos(1.33041051) × R
    0.000766989999999801 × 0.238077367230491 × 6371000     		du = 1163.36345747236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33059305)-sin(1.33041051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237900071984955-0.238077367230491)×R²
    abs(-2.39147605--2.39224304)×0.000177295245536668×R²
    0.000766989999999801×0.000177295245536668×6371000²
    0.000766989999999801×0.000177295245536668×40589641000000     		ar = 1352444.1251383m²