Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97699 / 101283
↖ ↑ ↗
← S 69.568102°
E 88.338318°		 ← 106.62 m → S 69.568102°
E 88.341064°		 →
↑
106.65 m
↓
↑
106.65 m
↓
S 69.569061°
E 88.338318°		 ← 106.62 m →
11 371 m²		 S 69.569061°
E 88.341064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745388031005859 y=0.772731781005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745388031005859 × 217)
    floor (0.745388031005859 × 131072)
    floor (97699.5)     		tx = 97699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772731781005859 × 217)
    floor (0.772731781005859 × 131072)
    floor (101283.5)     		ty = 101283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97699 / 101283 ti = "17/97699/101283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97699/101283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97699 ÷ 217
    97699 ÷ 131072     		x = 0.745384216308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101283 ÷ 217
    101283 ÷ 131072     		y = 0.772727966308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745384216308594 × 2 - 1) × π
    0.490768432617188 × 3.1415926535     		Λ = 1.54179450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772727966308594 × 2 - 1) × π
    -0.545455932617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.71360035071815
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54179450} λ = 1.54179450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71360035071815))-π/2
    2×atan(0.180215783163932)-π/2
    2×0.178301941566047-π/2
    0.356603883132093-1.57079632675     		φ = -1.21419244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54179450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.338318°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21419244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.568102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97699 KachelY 101283 1.54179450 -1.21419244 88.338318 -69.568102
    Oben rechts KachelX + 1 97700 KachelY 101283 1.54184244 -1.21419244 88.341064 -69.568102
    Unten links KachelX 97699 KachelY + 1 101284 1.54179450 -1.21420918 88.338318 -69.569061
    Unten rechts KachelX + 1 97700 KachelY + 1 101284 1.54184244 -1.21420918 88.341064 -69.569061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21419244--1.21420918) × R
    1.67400000001816e-05 × 6371000     		dl = 106.650540001157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21419244--1.21420918) × R
    1.67400000001816e-05 × 6371000     		dr = 106.650540001157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54179450-1.54184244) × cos(-1.21419244) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34909379633289 × 6371000     		do = 106.622231074312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54179450-1.54184244) × cos(-1.21420918) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349078109434416 × 6371000     		du = 106.617439891737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21419244)-sin(-1.21420918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34909379633289-0.349078109434416)×R²
    abs(1.54184244-1.54179450)×1.56868984739766e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56868984739766e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56868984739766e-05×40589641000000     		ar = 11371.0630293838m²