Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97698 / 102114
↖ ↑ ↗
← S 70.350165°
E 88.335572°		 ← 102.68 m → S 70.350165°
E 88.338318°		 →
↑
102.70 m
↓
↑
102.70 m
↓
S 70.351089°
E 88.335572°		 ← 102.68 m →
10 545 m²		 S 70.351089°
E 88.338318°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745380401611328 y=0.779071807861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745380401611328 × 217)
    floor (0.745380401611328 × 131072)
    floor (97698.5)     		tx = 97698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779071807861328 × 217)
    floor (0.779071807861328 × 131072)
    floor (102114.5)     		ty = 102114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97698 / 102114 ti = "17/97698/102114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97698/102114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97698 ÷ 217
    97698 ÷ 131072     		x = 0.745376586914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102114 ÷ 217
    102114 ÷ 131072     		y = 0.779067993164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745376586914062 × 2 - 1) × π
    0.490753173828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.54174657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779067993164062 × 2 - 1) × π
    -0.558135986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75343591430241
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54174657} λ = 1.54174657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75343591430241))-π/2
    2×atan(0.173177895643736)-π/2
    2×0.171477160568023-π/2
    0.342954321136047-1.57079632675     		φ = -1.22784201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54174657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.335572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22784201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.350165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97698 KachelY 102114 1.54174657 -1.22784201 88.335572 -70.350165
    Oben rechts KachelX + 1 97699 KachelY 102114 1.54179450 -1.22784201 88.338318 -70.350165
    Unten links KachelX 97698 KachelY + 1 102115 1.54174657 -1.22785813 88.335572 -70.351089
    Unten rechts KachelX + 1 97699 KachelY + 1 102115 1.54179450 -1.22785813 88.338318 -70.351089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22784201--1.22785813) × R
    1.61199999999528e-05 × 6371000     		dl = 102.7005199997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22784201--1.22785813) × R
    1.61199999999528e-05 × 6371000     		dr = 102.7005199997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54174657-1.54179450) × cos(-1.22784201) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.336270828696563 × 6371000     		do = 102.684342880628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54174657-1.54179450) × cos(-1.22785813) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.336255647395813 × 6371000     		du = 102.679707087813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22784201)-sin(-1.22785813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336270828696563-0.336255647395813)×R²
    abs(1.54179450-1.54174657)×1.51813007495671e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.51813007495671e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.51813007495671e-05×40589641000000     		ar = 10545.4973608612m²