Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97694 / 101285
↖ ↑ ↗
← S 69.570020°
E 88.324585°		 ← 106.59 m → S 69.570020°
E 88.327331°		 →
↑
106.59 m
↓
↑
106.59 m
↓
S 69.570979°
E 88.324585°		 ← 106.59 m →
11 361 m²		 S 69.570979°
E 88.327331°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745349884033203 y=0.772747039794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745349884033203 × 217)
    floor (0.745349884033203 × 131072)
    floor (97694.5)     		tx = 97694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772747039794922 × 217)
    floor (0.772747039794922 × 131072)
    floor (101285.5)     		ty = 101285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97694 / 101285 ti = "17/97694/101285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97694/101285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97694 ÷ 217
    97694 ÷ 131072     		x = 0.745346069335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101285 ÷ 217
    101285 ÷ 131072     		y = 0.772743225097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745346069335938 × 2 - 1) × π
    0.490692138671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.54155482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772743225097656 × 2 - 1) × π
    -0.545486450195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.71369622451739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54155482} λ = 1.54155482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71369622451739))-π/2
    2×atan(0.180198506020343)-π/2
    2×0.17828520784365-π/2
    0.356570415687299-1.57079632675     		φ = -1.21422591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54155482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.324585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21422591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.570020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97694 KachelY 101285 1.54155482 -1.21422591 88.324585 -69.570020
    Oben rechts KachelX + 1 97695 KachelY 101285 1.54160275 -1.21422591 88.327331 -69.570020
    Unten links KachelX 97694 KachelY + 1 101286 1.54155482 -1.21424264 88.324585 -69.570979
    Unten rechts KachelX + 1 97695 KachelY + 1 101286 1.54160275 -1.21424264 88.327331 -69.570979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21422591--1.21424264) × R
    1.67300000000203e-05 × 6371000     		dl = 106.58683000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21422591--1.21424264) × R
    1.67300000000203e-05 × 6371000     		dr = 106.58683000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54155482-1.54160275) × cos(-1.21422591) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.349062431809115 × 6371000     		do = 106.590412774033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54155482-1.54160275) × cos(-1.21424264) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.349046754086115 × 6371000     		du = 106.585625392712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21422591)-sin(-1.21424264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349062431809115-0.349046754086115)×R²
    abs(1.54160275-1.54155482)×1.56777230004845e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.56777230004845e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.56777230004845e-05×40589641000000     		ar = 11360.8790702719m²