Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97693 / 101281
↖ ↑ ↗
← S 69.566185°
E 88.321838°		 ← 106.63 m → S 69.566185°
E 88.324585°		 →
↑
106.65 m
↓
↑
106.65 m
↓
S 69.567144°
E 88.321838°		 ← 106.63 m →
11 372 m²		 S 69.567144°
E 88.324585°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745342254638672 y=0.772716522216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745342254638672 × 217)
    floor (0.745342254638672 × 131072)
    floor (97693.5)     		tx = 97693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772716522216797 × 217)
    floor (0.772716522216797 × 131072)
    floor (101281.5)     		ty = 101281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97693 / 101281 ti = "17/97693/101281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97693/101281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97693 ÷ 217
    97693 ÷ 131072     		x = 0.745338439941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101281 ÷ 217
    101281 ÷ 131072     		y = 0.772712707519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745338439941406 × 2 - 1) × π
    0.490676879882812 × 3.1415926535     		Λ = 1.54150688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772712707519531 × 2 - 1) × π
    -0.545425415039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.71350447691891
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54150688} λ = 1.54150688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71350447691891))-π/2
    2×atan(0.180233061964026)-π/2
    2×0.178318676791905-π/2
    0.35663735358381-1.57079632675     		φ = -1.21415897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54150688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.321838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21415897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.566185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97693 KachelY 101281 1.54150688 -1.21415897 88.321838 -69.566185
    Oben rechts KachelX + 1 97694 KachelY 101281 1.54155482 -1.21415897 88.324585 -69.566185
    Unten links KachelX 97693 KachelY + 1 101282 1.54150688 -1.21417571 88.321838 -69.567144
    Unten rechts KachelX + 1 97694 KachelY + 1 101282 1.54155482 -1.21417571 88.324585 -69.567144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21415897--1.21417571) × R
    1.67399999999596e-05 × 6371000     		dl = 106.650539999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21415897--1.21417571) × R
    1.67399999999596e-05 × 6371000     		dr = 106.650539999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54150688-1.54155482) × cos(-1.21415897) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349125160465595 × 6371000     		do = 106.631810487753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54150688-1.54155482) × cos(-1.21417571) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349109473762718 × 6371000     		du = 106.627019364919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21415897)-sin(-1.21417571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349125160465595-0.349109473762718)×R²
    abs(1.54155482-1.54150688)×1.5686702876383e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5686702876383e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5686702876383e-05×40589641000000     		ar = 11372.0846820035m²