Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97691 / 101282
↖ ↑ ↗
← S 69.567144°
E 88.316345°		 ← 106.60 m → S 69.567144°
E 88.319092°		 →
↑
106.59 m
↓
↑
106.59 m
↓
S 69.568102°
E 88.316345°		 ← 106.60 m →
11 362 m²		 S 69.568102°
E 88.319092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745326995849609 y=0.772724151611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745326995849609 × 217)
    floor (0.745326995849609 × 131072)
    floor (97691.5)     		tx = 97691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772724151611328 × 217)
    floor (0.772724151611328 × 131072)
    floor (101282.5)     		ty = 101282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97691 / 101282 ti = "17/97691/101282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97691/101282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97691 ÷ 217
    97691 ÷ 131072     		x = 0.745323181152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101282 ÷ 217
    101282 ÷ 131072     		y = 0.772720336914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745323181152344 × 2 - 1) × π
    0.490646362304688 × 3.1415926535     		Λ = 1.54141101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772720336914062 × 2 - 1) × π
    -0.545440673828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.71355241381853
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54141101} λ = 1.54141101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71355241381853))-π/2
    2×atan(0.180224422356906)-π/2
    2×0.178310308991036-π/2
    0.356620617982072-1.57079632675     		φ = -1.21417571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54141101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.316345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21417571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.567144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97691 KachelY 101282 1.54141101 -1.21417571 88.316345 -69.567144
    Oben rechts KachelX + 1 97692 KachelY 101282 1.54145894 -1.21417571 88.319092 -69.567144
    Unten links KachelX 97691 KachelY + 1 101283 1.54141101 -1.21419244 88.316345 -69.568102
    Unten rechts KachelX + 1 97692 KachelY + 1 101283 1.54145894 -1.21419244 88.319092 -69.568102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21417571--1.21419244) × R
    1.67300000000203e-05 × 6371000     		dl = 106.58683000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21417571--1.21419244) × R
    1.67300000000203e-05 × 6371000     		dr = 106.58683000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54141101-1.54145894) × cos(-1.21417571) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.349109473762718 × 6371000     		do = 106.604777600481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54141101-1.54145894) × cos(-1.21419244) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.34909379633289 × 6371000     		du = 106.599990308683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21417571)-sin(-1.21419244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349109473762718-0.34909379633289)×R²
    abs(1.54145894-1.54141101)×1.56774298286089e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.56774298286089e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.56774298286089e-05×40589641000000     		ar = 11362.4101763699m²