Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97681 / 101253
↖ ↑ ↗
← S 69.539319°
E 88.288879°		 ← 106.77 m → S 69.539319°
E 88.291626°		 →
↑
106.78 m
↓
↑
106.78 m
↓
S 69.540279°
E 88.288879°		 ← 106.76 m →
11 400 m²		 S 69.540279°
E 88.291626°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745250701904297 y=0.772502899169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745250701904297 × 217)
    floor (0.745250701904297 × 131072)
    floor (97681.5)     		tx = 97681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772502899169922 × 217)
    floor (0.772502899169922 × 131072)
    floor (101253.5)     		ty = 101253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97681 / 101253 ti = "17/97681/101253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97681/101253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97681 ÷ 217
    97681 ÷ 131072     		x = 0.745246887207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101253 ÷ 217
    101253 ÷ 131072     		y = 0.772499084472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745246887207031 × 2 - 1) × π
    0.490493774414062 × 3.1415926535     		Λ = 1.54093164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772499084472656 × 2 - 1) × π
    -0.544998168945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.71216224372955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54093164} λ = 1.54093164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71216224372955))-π/2
    2×atan(0.180475139187313)-π/2
    2×0.178553127882522-π/2
    0.357106255765044-1.57079632675     		φ = -1.21369007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54093164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.288879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21369007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.539319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97681 KachelY 101253 1.54093164 -1.21369007 88.288879 -69.539319
    Oben rechts KachelX + 1 97682 KachelY 101253 1.54097958 -1.21369007 88.291626 -69.539319
    Unten links KachelX 97681 KachelY + 1 101254 1.54093164 -1.21370683 88.288879 -69.540279
    Unten rechts KachelX + 1 97682 KachelY + 1 101254 1.54097958 -1.21370683 88.291626 -69.540279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21369007--1.21370683) × R
    1.67600000000601e-05 × 6371000     		dl = 106.777960000383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21369007--1.21370683) × R
    1.67600000000601e-05 × 6371000     		dr = 106.777960000383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54093164-1.54097958) × cos(-1.21369007) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349564517053482 × 6371000     		do = 106.766001298732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54093164-1.54097958) × cos(-1.21370683) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349548814354324 × 6371000     		du = 106.761205290222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21369007)-sin(-1.21370683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349564517053482-0.349548814354324)×R²
    abs(1.54097958-1.54093164)×1.57026991585152e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57026991585152e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57026991585152e-05×40589641000000     		ar = 11399.9997623384m²