Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9768 / 10283
↖ ↑ ↗
← S 41.689322°
E 34.628906°		 ← 1 824.55 m → S 41.689322°
E 34.650879°		 →
↑
1 824.27 m
↓
↑
1 824.27 m
↓
S 41.705729°
E 34.628906°		 ← 1 824.08 m →
3 328 047 m²		 S 41.705729°
E 34.650879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596221923828125 y=0.627655029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596221923828125 × 214)
    floor (0.596221923828125 × 16384)
    floor (9768.5)     		tx = 9768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627655029296875 × 214)
    floor (0.627655029296875 × 16384)
    floor (10283.5)     		ty = 10283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9768 / 10283 ti = "14/9768/10283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9768/10283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9768 ÷ 214
    9768 ÷ 16384     		x = 0.59619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10283 ÷ 214
    10283 ÷ 16384     		y = 0.62762451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59619140625 × 2 - 1) × π
    0.1923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.60438843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62762451171875 × 2 - 1) × π
    -0.2552490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.801888456844299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60438843} λ = 0.60438843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.801888456844299))-π/2
    2×atan(0.448481226469512)-π/2
    2×0.421590195225282-π/2
    0.843180390450565-1.57079632675     		φ = -0.72761594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60438843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.628906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72761594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.689322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9768 KachelY 10283 0.60438843 -0.72761594 34.628906 -41.689322
    Oben rechts KachelX + 1 9769 KachelY 10283 0.60477193 -0.72761594 34.650879 -41.689322
    Unten links KachelX 9768 KachelY + 1 10284 0.60438843 -0.72790228 34.628906 -41.705729
    Unten rechts KachelX + 1 9769 KachelY + 1 10284 0.60477193 -0.72790228 34.650879 -41.705729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72761594--0.72790228) × R
    0.000286340000000052 × 6371000     		dl = 1824.27214000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72761594--0.72790228) × R
    0.000286340000000052 × 6371000     		dr = 1824.27214000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60438843-0.60477193) × cos(-0.72761594) × R
    0.000383499999999981 × 0.746762140372289 × 6371000     		do = 1824.54788218551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60438843-0.60477193) × cos(-0.72790228) × R
    0.000383499999999981 × 0.746571667546648 × 6371000     		du = 1824.08250402578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72761594)-sin(-0.72790228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746762140372289-0.746571667546648)×R²
    abs(0.60477193-0.60438843)×0.000190472825640775×R²
    0.000383499999999981×0.000190472825640775×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190472825640775×40589641000000     		ar = 3328047.40410053m²