Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97676 / 101275
↖ ↑ ↗
← S 69.560430°
E 88.275146°		 ← 106.66 m → S 69.560430°
E 88.277893°		 →
↑
106.65 m
↓
↑
106.65 m
↓
S 69.561390°
E 88.275146°		 ← 106.66 m →
11 375 m²		 S 69.561390°
E 88.277893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745212554931641 y=0.772670745849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745212554931641 × 217)
    floor (0.745212554931641 × 131072)
    floor (97676.5)     		tx = 97676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772670745849609 × 217)
    floor (0.772670745849609 × 131072)
    floor (101275.5)     		ty = 101275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97676 / 101275 ti = "17/97676/101275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97676/101275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97676 ÷ 217
    97676 ÷ 131072     		x = 0.745208740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101275 ÷ 217
    101275 ÷ 131072     		y = 0.772666931152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745208740234375 × 2 - 1) × π
    0.49041748046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.54069195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772666931152344 × 2 - 1) × π
    -0.545333862304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.71321685552119
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54069195} λ = 1.54069195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71321685552119))-π/2
    2×atan(0.180284908304925)-π/2
    2×0.178368891491412-π/2
    0.356737782982824-1.57079632675     		φ = -1.21405854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54069195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.275146°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21405854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.560430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97676 KachelY 101275 1.54069195 -1.21405854 88.275146 -69.560430
    Oben rechts KachelX + 1 97677 KachelY 101275 1.54073989 -1.21405854 88.277893 -69.560430
    Unten links KachelX 97676 KachelY + 1 101276 1.54069195 -1.21407528 88.275146 -69.561390
    Unten rechts KachelX + 1 97677 KachelY + 1 101276 1.54073989 -1.21407528 88.277893 -69.561390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21405854--1.21407528) × R
    1.67400000001816e-05 × 6371000     		dl = 106.650540001157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21405854--1.21407528) × R
    1.67400000001816e-05 × 6371000     		dr = 106.650540001157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54069195-1.54073989) × cos(-1.21405854) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349219269257764 × 6371000     		do = 106.660553735242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54069195-1.54073989) × cos(-1.21407528) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349203583141902 × 6371000     		du = 106.655762791697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21405854)-sin(-1.21407528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349219269257764-0.349203583141902)×R²
    abs(1.54073989-1.54069195)×1.56861158620569e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56861158620569e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56861158620569e-05×40589641000000     		ar = 11375.1501745481m²