Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97676 / 101237
↖ ↑ ↗
← S 69.523951°
E 88.275146°		 ← 106.84 m → S 69.523951°
E 88.277893°		 →
↑
106.84 m
↓
↑
106.84 m
↓
S 69.524912°
E 88.275146°		 ← 106.84 m →
11 415 m²		 S 69.524912°
E 88.277893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745212554931641 y=0.772380828857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745212554931641 × 217)
    floor (0.745212554931641 × 131072)
    floor (97676.5)     		tx = 97676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772380828857422 × 217)
    floor (0.772380828857422 × 131072)
    floor (101237.5)     		ty = 101237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97676 / 101237 ti = "17/97676/101237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97676/101237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97676 ÷ 217
    97676 ÷ 131072     		x = 0.745208740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101237 ÷ 217
    101237 ÷ 131072     		y = 0.772377014160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745208740234375 × 2 - 1) × π
    0.49041748046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.54069195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772377014160156 × 2 - 1) × π
    -0.544754028320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.71139525333562
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54069195} λ = 1.54069195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71139525333562))-π/2
    2×atan(0.180613614983425)-π/2
    2×0.178687232372018-π/2
    0.357374464744036-1.57079632675     		φ = -1.21342186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54069195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.275146°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21342186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.523951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97676 KachelY 101237 1.54069195 -1.21342186 88.275146 -69.523951
    Oben rechts KachelX + 1 97677 KachelY 101237 1.54073989 -1.21342186 88.277893 -69.523951
    Unten links KachelX 97676 KachelY + 1 101238 1.54069195 -1.21343863 88.275146 -69.524912
    Unten rechts KachelX + 1 97677 KachelY + 1 101238 1.54073989 -1.21343863 88.277893 -69.524912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21342186--1.21343863) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dl = 106.841669999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21342186--1.21343863) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dr = 106.841669999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54069195-1.54073989) × cos(-1.21342186) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349815793723854 × 6371000     		do = 106.842747661725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54069195-1.54073989) × cos(-1.21343863) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349800083228344 × 6371000     		du = 106.837949272008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21342186)-sin(-1.21343863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349815793723854-0.349800083228344)×R²
    abs(1.54073989-1.54069195)×1.57104955103571e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57104955103571e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57104955103571e-05×40589641000000     		ar = 11415.0012537929m²