Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97675 / 102013
↖ ↑ ↗
← S 70.256669°
E 88.272400°		 ← 103.15 m → S 70.256669°
E 88.275146°		 →
↑
103.15 m
↓
↑
103.15 m
↓
S 70.257596°
E 88.272400°		 ← 103.15 m →
10 640 m²		 S 70.257596°
E 88.275146°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745204925537109 y=0.778301239013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745204925537109 × 217)
    floor (0.745204925537109 × 131072)
    floor (97675.5)     		tx = 97675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778301239013672 × 217)
    floor (0.778301239013672 × 131072)
    floor (102013.5)     		ty = 102013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97675 / 102013 ti = "17/97675/102013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97675/102013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97675 ÷ 217
    97675 ÷ 131072     		x = 0.745201110839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102013 ÷ 217
    102013 ÷ 131072     		y = 0.778297424316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745201110839844 × 2 - 1) × π
    0.490402221679688 × 3.1415926535     		Λ = 1.54064402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778297424316406 × 2 - 1) × π
    -0.556594848632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.74859428744079
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54064402} λ = 1.54064402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74859428744079))-π/2
    2×atan(0.174018391436766)-π/2
    2×0.172293067878562-π/2
    0.344586135757124-1.57079632675     		φ = -1.22621019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54064402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.272400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22621019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.256669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97675 KachelY 102013 1.54064402 -1.22621019 88.272400 -70.256669
    Oben rechts KachelX + 1 97676 KachelY 102013 1.54069195 -1.22621019 88.275146 -70.256669
    Unten links KachelX 97675 KachelY + 1 102014 1.54064402 -1.22622638 88.272400 -70.257596
    Unten rechts KachelX + 1 97676 KachelY + 1 102014 1.54069195 -1.22622638 88.275146 -70.257596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22621019--1.22622638) × R
    1.61899999999715e-05 × 6371000     		dl = 103.146489999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22621019--1.22622638) × R
    1.61899999999715e-05 × 6371000     		dr = 103.146489999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54064402-1.54069195) × cos(-1.22621019) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.337807171792221 × 6371000     		do = 103.153483727095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54064402-1.54069195) × cos(-1.22622638) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.337791933471609 × 6371000     		du = 103.148830522578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22621019)-sin(-1.22622638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337807171792221-0.337791933471609)×R²
    abs(1.54069195-1.54064402)×1.52383206127871e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.52383206127871e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.52383206127871e-05×40589641000000     		ar = 10639.6797969853m²