Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97675 / 101513
↖ ↑ ↗
← S 69.787494°
E 88.272400°		 ← 105.50 m → S 69.787494°
E 88.275146°		 →
↑
105.50 m
↓
↑
105.50 m
↓
S 69.788443°
E 88.272400°		 ← 105.50 m →
11 131 m²		 S 69.788443°
E 88.275146°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745204925537109 y=0.774486541748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745204925537109 × 217)
    floor (0.745204925537109 × 131072)
    floor (97675.5)     		tx = 97675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774486541748047 × 217)
    floor (0.774486541748047 × 131072)
    floor (101513.5)     		ty = 101513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97675 / 101513 ti = "17/97675/101513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97675/101513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97675 ÷ 217
    97675 ÷ 131072     		x = 0.745201110839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101513 ÷ 217
    101513 ÷ 131072     		y = 0.774482727050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745201110839844 × 2 - 1) × π
    0.490402221679688 × 3.1415926535     		Λ = 1.54064402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774482727050781 × 2 - 1) × π
    -0.548965454101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.72462583763076
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54064402} λ = 1.54064402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72462583763076))-π/2
    2×atan(0.178239729897529)-π/2
    2×0.176387389222574-π/2
    0.352774778445149-1.57079632675     		φ = -1.21802155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54064402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.272400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21802155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.787494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97675 KachelY 101513 1.54064402 -1.21802155 88.272400 -69.787494
    Oben rechts KachelX + 1 97676 KachelY 101513 1.54069195 -1.21802155 88.275146 -69.787494
    Unten links KachelX 97675 KachelY + 1 101514 1.54064402 -1.21803811 88.272400 -69.788443
    Unten rechts KachelX + 1 97676 KachelY + 1 101514 1.54069195 -1.21803811 88.275146 -69.788443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21802155--1.21803811) × R
    1.65599999999433e-05 × 6371000     		dl = 105.503759999639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21802155--1.21803811) × R
    1.65599999999433e-05 × 6371000     		dr = 105.503759999639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54064402-1.54069195) × cos(-1.21802155) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.345503033665528 × 6371000     		do = 105.503507731329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54064402-1.54069195) × cos(-1.21803811) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.345487493422154 × 6371000     		du = 105.498762331065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21802155)-sin(-1.21803811))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345503033665528-0.345487493422154)×R²
    abs(1.54069195-1.54064402)×1.55402433742458e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55402433742458e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55402433742458e-05×40589641000000     		ar = 11130.7664302942m²