Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97674 / 101159
↖ ↑ ↗
← S 69.448878°
E 88.269653°		 ← 107.22 m → S 69.448878°
E 88.272400°		 →
↑
107.22 m
↓
↑
107.22 m
↓
S 69.449842°
E 88.269653°		 ← 107.21 m →
11 496 m²		 S 69.449842°
E 88.272400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745197296142578 y=0.771785736083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745197296142578 × 217)
    floor (0.745197296142578 × 131072)
    floor (97674.5)     		tx = 97674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771785736083984 × 217)
    floor (0.771785736083984 × 131072)
    floor (101159.5)     		ty = 101159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97674 / 101159 ti = "17/97674/101159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97674/101159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97674 ÷ 217
    97674 ÷ 131072     		x = 0.745193481445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101159 ÷ 217
    101159 ÷ 131072     		y = 0.771781921386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745193481445312 × 2 - 1) × π
    0.490386962890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.54059608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771781921386719 × 2 - 1) × π
    -0.543563842773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.70765617516526
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54059608} λ = 1.54059608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70765617516526))-π/2
    2×atan(0.181290207536433)-π/2
    2×0.179342373236597-π/2
    0.358684746473194-1.57079632675     		φ = -1.21211158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54059608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.269653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21211158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.448878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97674 KachelY 101159 1.54059608 -1.21211158 88.269653 -69.448878
    Oben rechts KachelX + 1 97675 KachelY 101159 1.54064402 -1.21211158 88.272400 -69.448878
    Unten links KachelX 97674 KachelY + 1 101160 1.54059608 -1.21212841 88.269653 -69.449842
    Unten rechts KachelX + 1 97675 KachelY + 1 101160 1.54064402 -1.21212841 88.272400 -69.449842
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21211158--1.21212841) × R
    1.68300000000787e-05 × 6371000     		dl = 107.223930000502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21211158--1.21212841) × R
    1.68300000000787e-05 × 6371000     		dr = 107.223930000502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54059608-1.54064402) × cos(-1.21211158) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.351042987635033 × 6371000     		do = 107.21756427017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54059608-1.54064402) × cos(-1.21212841) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.35102722865756 × 6371000     		du = 107.212751072814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21211158)-sin(-1.21212841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351042987635033-0.35102722865756)×R²
    abs(1.54064402-1.54059608)×1.57589774727462e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57589774727462e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57589774727462e-05×40589641000000     		ar = 11496.0305612684m²