Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97673 / 101163
↖ ↑ ↗
← S 69.452734°
E 88.266907°		 ← 107.20 m → S 69.452734°
E 88.269653°		 →
↑
107.16 m
↓
↑
107.16 m
↓
S 69.453698°
E 88.266907°		 ← 107.19 m →
11 487 m²		 S 69.453698°
E 88.269653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745189666748047 y=0.771816253662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745189666748047 × 217)
    floor (0.745189666748047 × 131072)
    floor (97673.5)     		tx = 97673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771816253662109 × 217)
    floor (0.771816253662109 × 131072)
    floor (101163.5)     		ty = 101163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97673 / 101163 ti = "17/97673/101163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97673/101163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97673 ÷ 217
    97673 ÷ 131072     		x = 0.745185852050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101163 ÷ 217
    101163 ÷ 131072     		y = 0.771812438964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745185852050781 × 2 - 1) × π
    0.490371704101562 × 3.1415926535     		Λ = 1.54054814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771812438964844 × 2 - 1) × π
    -0.543624877929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.70784792276374
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54054814} λ = 1.54054814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70784792276374))-π/2
    2×atan(0.181255448907058)-π/2
    2×0.179308720432911-π/2
    0.358617440865822-1.57079632675     		φ = -1.21217889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54054814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.266907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21217889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.452734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97673 KachelY 101163 1.54054814 -1.21217889 88.266907 -69.452734
    Oben rechts KachelX + 1 97674 KachelY 101163 1.54059608 -1.21217889 88.269653 -69.452734
    Unten links KachelX 97673 KachelY + 1 101164 1.54054814 -1.21219571 88.266907 -69.453698
    Unten rechts KachelX + 1 97674 KachelY + 1 101164 1.54059608 -1.21219571 88.269653 -69.453698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21217889--1.21219571) × R
    1.68200000001395e-05 × 6371000     		dl = 107.160220000889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21217889--1.21219571) × R
    1.68200000001395e-05 × 6371000     		dr = 107.160220000889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54054814-1.54059608) × cos(-1.21217889) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350979960492421 × 6371000     		do = 107.198314158498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54054814-1.54059608) × cos(-1.21219571) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350964210481211 × 6371000     		du = 107.193503699669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21217889)-sin(-1.21219571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350979960492421-0.350964210481211)×R²
    abs(1.54059608-1.54054814)×1.57500112105136e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57500112105136e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57500112105136e-05×40589641000000     		ar = 11487.1371841761m²