Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97672 / 101512
↖ ↑ ↗
← S 69.786545°
E 88.264160°		 ← 105.51 m → S 69.786545°
E 88.266907°		 →
↑
105.50 m
↓
↑
105.50 m
↓
S 69.787494°
E 88.264160°		 ← 105.50 m →
11 131 m²		 S 69.787494°
E 88.266907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745182037353516 y=0.774478912353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745182037353516 × 217)
    floor (0.745182037353516 × 131072)
    floor (97672.5)     		tx = 97672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774478912353516 × 217)
    floor (0.774478912353516 × 131072)
    floor (101512.5)     		ty = 101512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97672 / 101512 ti = "17/97672/101512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97672/101512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97672 ÷ 217
    97672 ÷ 131072     		x = 0.74517822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101512 ÷ 217
    101512 ÷ 131072     		y = 0.77447509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74517822265625 × 2 - 1) × π
    0.4903564453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.54050021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77447509765625 × 2 - 1) × π
    -0.5489501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.72457790073114
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54050021} λ = 1.54050021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72457790073114))-π/2
    2×atan(0.178248274362365)-π/2
    2×0.176395670580999-π/2
    0.352791341161998-1.57079632675     		φ = -1.21800499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54050021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.264160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21800499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.786545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97672 KachelY 101512 1.54050021 -1.21800499 88.264160 -69.786545
    Oben rechts KachelX + 1 97673 KachelY 101512 1.54054814 -1.21800499 88.266907 -69.786545
    Unten links KachelX 97672 KachelY + 1 101513 1.54050021 -1.21802155 88.264160 -69.787494
    Unten rechts KachelX + 1 97673 KachelY + 1 101513 1.54054814 -1.21802155 88.266907 -69.787494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21800499--1.21802155) × R
    1.65599999999433e-05 × 6371000     		dl = 105.503759999639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21800499--1.21802155) × R
    1.65599999999433e-05 × 6371000     		dr = 105.503759999639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54050021-1.54054814) × cos(-1.21800499) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.345518573814154 × 6371000     		do = 105.508253102659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54050021-1.54054814) × cos(-1.21802155) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.345503033665528 × 6371000     		du = 105.503507731329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21800499)-sin(-1.21802155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345518573814154-0.345503033665528)×R²
    abs(1.54054814-1.54050021)×1.55401486257034e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55401486257034e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55401486257034e-05×40589641000000     		ar = 11131.2670864446m²