Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97666 / 102018
↖ ↑ ↗
← S 70.261307°
E 88.247680°		 ← 103.15 m → S 70.261307°
E 88.250427°		 →
↑
103.15 m
↓
↑
103.15 m
↓
S 70.262235°
E 88.247680°		 ← 103.15 m →
10 639 m²		 S 70.262235°
E 88.250427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745136260986328 y=0.778339385986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745136260986328 × 217)
    floor (0.745136260986328 × 131072)
    floor (97666.5)     		tx = 97666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778339385986328 × 217)
    floor (0.778339385986328 × 131072)
    floor (102018.5)     		ty = 102018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97666 / 102018 ti = "17/97666/102018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97666/102018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97666 ÷ 217
    97666 ÷ 131072     		x = 0.745132446289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102018 ÷ 217
    102018 ÷ 131072     		y = 0.778335571289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745132446289062 × 2 - 1) × π
    0.490264892578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.54021258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778335571289062 × 2 - 1) × π
    -0.556671142578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.74883397193889
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54021258} λ = 1.54021258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74883397193889))-π/2
    2×atan(0.173976686924117)-π/2
    2×0.172252588873607-π/2
    0.344505177747214-1.57079632675     		φ = -1.22629115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54021258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.247680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22629115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.261307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97666 KachelY 102018 1.54021258 -1.22629115 88.247680 -70.261307
    Oben rechts KachelX + 1 97667 KachelY 102018 1.54026052 -1.22629115 88.250427 -70.261307
    Unten links KachelX 97666 KachelY + 1 102019 1.54021258 -1.22630734 88.247680 -70.262235
    Unten rechts KachelX + 1 97667 KachelY + 1 102019 1.54026052 -1.22630734 88.250427 -70.262235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22629115--1.22630734) × R
    1.61899999999715e-05 × 6371000     		dl = 103.146489999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22629115--1.22630734) × R
    1.61899999999715e-05 × 6371000     		dr = 103.146489999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54021258-1.54026052) × cos(-1.22629115) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337730969891363 × 6371000     		do = 103.15173139992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54021258-1.54026052) × cos(-1.22630734) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337715731128032 × 6371000     		du = 103.147077089353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22629115)-sin(-1.22630734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337730969891363-0.337715731128032)×R²
    abs(1.54026052-1.54021258)×1.5238763331038e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5238763331038e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5238763331038e-05×40589641000000     		ar = 10639.4989937695m²