Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 97657 / 101236
↖ ↑ ↗
← S 69.522990°
E 88.222961°		 ← 106.85 m → S 69.522990°
E 88.225708°		 →
↑
106.84 m
↓
↑
106.84 m
↓
S 69.523951°
E 88.222961°		 ← 106.84 m →
11 416 m²		 S 69.523951°
E 88.225708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745067596435547 y=0.772373199462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745067596435547 × 217)
    floor (0.745067596435547 × 131072)
    floor (97657.5)     		tx = 97657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772373199462891 × 217)
    floor (0.772373199462891 × 131072)
    floor (101236.5)     		ty = 101236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97657 / 101236 ti = "17/97657/101236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97657/101236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97657 ÷ 217
    97657 ÷ 131072     		x = 0.745063781738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101236 ÷ 217
    101236 ÷ 131072     		y = 0.772369384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745063781738281 × 2 - 1) × π
    0.490127563476562 × 3.1415926535     		Λ = 1.53978115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772369384765625 × 2 - 1) × π
    -0.54473876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.711347316436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53978115} λ = 1.53978115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.711347316436))-π/2
    2×atan(0.18062227324768)-π/2
    2×0.178695617102536-π/2
    0.357391234205073-1.57079632675     		φ = -1.21340509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53978115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.222961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21340509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.522990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97657 KachelY 101236 1.53978115 -1.21340509 88.222961 -69.522990
    Oben rechts KachelX + 1 97658 KachelY 101236 1.53982909 -1.21340509 88.225708 -69.522990
    Unten links KachelX 97657 KachelY + 1 101237 1.53978115 -1.21342186 88.222961 -69.523951
    Unten rechts KachelX + 1 97658 KachelY + 1 101237 1.53982909 -1.21342186 88.225708 -69.523951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21340509--1.21342186) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dl = 106.841669999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21340509--1.21342186) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dr = 106.841669999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53978115-1.53982909) × cos(-1.21340509) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349831504120985 × 6371000     		do = 106.847546021395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53978115-1.53982909) × cos(-1.21342186) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349815793723854 × 6371000     		du = 106.842747661725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21340509)-sin(-1.21342186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349831504120985-0.349815793723854)×R²
    abs(1.53982909-1.53978115)×1.57103971306638e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57103971306638e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57103971306638e-05×40589641000000     		ar = 11415.5139202861m²