Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97654 / 101202
↖ ↑ ↗
← S 69.490297°
E 88.214722°		 ← 107.01 m → S 69.490297°
E 88.217468°		 →
↑
107.03 m
↓
↑
107.03 m
↓
S 69.491260°
E 88.214722°		 ← 107.01 m →
11 453 m²		 S 69.491260°
E 88.217468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745044708251953 y=0.772113800048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745044708251953 × 217)
    floor (0.745044708251953 × 131072)
    floor (97654.5)     		tx = 97654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772113800048828 × 217)
    floor (0.772113800048828 × 131072)
    floor (101202.5)     		ty = 101202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97654 / 101202 ti = "17/97654/101202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97654/101202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97654 ÷ 217
    97654 ÷ 131072     		x = 0.745040893554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101202 ÷ 217
    101202 ÷ 131072     		y = 0.772109985351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745040893554688 × 2 - 1) × π
    0.490081787109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.53963734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772109985351562 × 2 - 1) × π
    -0.544219970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70971746184892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53963734} λ = 1.53963734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70971746184892))-π/2
    2×atan(0.180916901323501)-π/2
    2×0.17898092208209-π/2
    0.357961844164181-1.57079632675     		φ = -1.21283448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53963734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.214722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21283448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.490297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97654 KachelY 101202 1.53963734 -1.21283448 88.214722 -69.490297
    Oben rechts KachelX + 1 97655 KachelY 101202 1.53968528 -1.21283448 88.217468 -69.490297
    Unten links KachelX 97654 KachelY + 1 101203 1.53963734 -1.21285128 88.214722 -69.491260
    Unten rechts KachelX + 1 97655 KachelY + 1 101203 1.53968528 -1.21285128 88.217468 -69.491260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21283448--1.21285128) × R
    1.6800000000039e-05 × 6371000     		dl = 107.032800000248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21283448--1.21285128) × R
    1.6800000000039e-05 × 6371000     		dr = 107.032800000248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53963734-1.53968528) × cos(-1.21283448) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.35036600179952 × 6371000     		do = 107.01079537039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53963734-1.53968528) × cos(-1.21285128) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350350266653893 × 6371000     		du = 107.005989451892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21283448)-sin(-1.21285128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35036600179952-0.350350266653893)×R²
    abs(1.53968528-1.53963734)×1.57351456278598e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57351456278598e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57351456278598e-05×40589641000000     		ar = 11453.4078636116m²