Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97653 / 101223
↖ ↑ ↗
← S 69.510496°
E 88.211975°		 ← 106.89 m → S 69.510496°
E 88.214722°		 →
↑
106.91 m
↓
↑
106.91 m
↓
S 69.511457°
E 88.211975°		 ← 106.88 m →
11 427 m²		 S 69.511457°
E 88.214722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745037078857422 y=0.772274017333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745037078857422 × 217)
    floor (0.745037078857422 × 131072)
    floor (97653.5)     		tx = 97653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772274017333984 × 217)
    floor (0.772274017333984 × 131072)
    floor (101223.5)     		ty = 101223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97653 / 101223 ti = "17/97653/101223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97653/101223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97653 ÷ 217
    97653 ÷ 131072     		x = 0.745033264160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101223 ÷ 217
    101223 ÷ 131072     		y = 0.772270202636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745033264160156 × 2 - 1) × π
    0.490066528320312 × 3.1415926535     		Λ = 1.53958941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772270202636719 × 2 - 1) × π
    -0.544540405273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.71072413674094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53958941} λ = 1.53958941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71072413674094))-π/2
    2×atan(0.180734868460725)-π/2
    2×0.178804652870533-π/2
    0.357609305741066-1.57079632675     		φ = -1.21318702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53958941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.211975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21318702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.510496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97653 KachelY 101223 1.53958941 -1.21318702 88.211975 -69.510496
    Oben rechts KachelX + 1 97654 KachelY 101223 1.53963734 -1.21318702 88.214722 -69.510496
    Unten links KachelX 97653 KachelY + 1 101224 1.53958941 -1.21320380 88.211975 -69.511457
    Unten rechts KachelX + 1 97654 KachelY + 1 101224 1.53963734 -1.21320380 88.214722 -69.511457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21318702--1.21320380) × R
    1.67800000001606e-05 × 6371000     		dl = 106.905380001023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21318702--1.21320380) × R
    1.67800000001606e-05 × 6371000     		dr = 106.905380001023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53958941-1.53963734) × cos(-1.21318702) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.3500357865333 × 6371000     		do = 106.887638348521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53958941-1.53963734) × cos(-1.21320380) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.350020068048437 × 6371000     		du = 106.882838520074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21318702)-sin(-1.21320380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3500357865333-0.350020068048437)×R²
    abs(1.53963734-1.53958941)×1.57184848623149e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57184848623149e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57184848623149e-05×40589641000000     		ar = 11426.6070315817m²