Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97652 / 101204
↖ ↑ ↗
← S 69.492222°
E 88.209229°		 ← 107 m → S 69.492222°
E 88.211975°		 →
↑
107.03 m
↓
↑
107.03 m
↓
S 69.493184°
E 88.209229°		 ← 107 m →
11 452 m²		 S 69.493184°
E 88.211975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745029449462891 y=0.772129058837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745029449462891 × 217)
    floor (0.745029449462891 × 131072)
    floor (97652.5)     		tx = 97652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772129058837891 × 217)
    floor (0.772129058837891 × 131072)
    floor (101204.5)     		ty = 101204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97652 / 101204 ti = "17/97652/101204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97652/101204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97652 ÷ 217
    97652 ÷ 131072     		x = 0.745025634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101204 ÷ 217
    101204 ÷ 131072     		y = 0.772125244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745025634765625 × 2 - 1) × π
    0.49005126953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.53954147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772125244140625 × 2 - 1) × π
    -0.54425048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70981333564816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53954147} λ = 1.53954147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70981333564816))-π/2
    2×atan(0.180899556964272)-π/2
    2×0.178964127376418-π/2
    0.357928254752837-1.57079632675     		φ = -1.21286807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53954147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.209229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21286807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.492222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97652 KachelY 101204 1.53954147 -1.21286807 88.209229 -69.492222
    Oben rechts KachelX + 1 97653 KachelY 101204 1.53958941 -1.21286807 88.211975 -69.492222
    Unten links KachelX 97652 KachelY + 1 101205 1.53954147 -1.21288487 88.209229 -69.493184
    Unten rechts KachelX + 1 97653 KachelY + 1 101205 1.53958941 -1.21288487 88.211975 -69.493184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21286807--1.21288487) × R
    1.6799999999817e-05 × 6371000     		dl = 107.032799998834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21286807--1.21288487) × R
    1.6799999999817e-05 × 6371000     		dr = 107.032799998834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53954147-1.53958941) × cos(-1.21286807) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350334540775628 × 6371000     		do = 107.001186363886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53954147-1.53958941) × cos(-1.21288487) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350318805432298 × 6371000     		du = 106.996380385006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21286807)-sin(-1.21288487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350334540775628-0.350318805432298)×R²
    abs(1.53958941-1.53954147)×1.57353433300478e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57353433300478e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57353433300478e-05×40589641000000     		ar = 11452.3793812717m²