Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97649 / 101209
↖ ↑ ↗
← S 69.497032°
E 88.200989°		 ← 106.95 m → S 69.497032°
E 88.203735°		 →
↑
106.97 m
↓
↑
106.97 m
↓
S 69.497994°
E 88.200989°		 ← 106.95 m →
11 441 m²		 S 69.497994°
E 88.203735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745006561279297 y=0.772167205810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745006561279297 × 217)
    floor (0.745006561279297 × 131072)
    floor (97649.5)     		tx = 97649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772167205810547 × 217)
    floor (0.772167205810547 × 131072)
    floor (101209.5)     		ty = 101209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97649 / 101209 ti = "17/97649/101209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97649/101209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97649 ÷ 217
    97649 ÷ 131072     		x = 0.745002746582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101209 ÷ 217
    101209 ÷ 131072     		y = 0.772163391113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745002746582031 × 2 - 1) × π
    0.490005493164062 × 3.1415926535     		Λ = 1.53939766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772163391113281 × 2 - 1) × π
    -0.544326782226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.71005302014626
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53939766} λ = 1.53939766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71005302014626))-π/2
    2×atan(0.180856203340558)-π/2
    2×0.178922147209743-π/2
    0.357844294419486-1.57079632675     		φ = -1.21295203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53939766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.200989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21295203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.497032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97649 KachelY 101209 1.53939766 -1.21295203 88.200989 -69.497032
    Oben rechts KachelX + 1 97650 KachelY 101209 1.53944559 -1.21295203 88.203735 -69.497032
    Unten links KachelX 97649 KachelY + 1 101210 1.53939766 -1.21296882 88.200989 -69.497994
    Unten rechts KachelX + 1 97650 KachelY + 1 101210 1.53944559 -1.21296882 88.203735 -69.497994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21295203--1.21296882) × R
    1.67899999998777e-05 × 6371000     		dl = 106.969089999221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21295203--1.21296882) × R
    1.67899999998777e-05 × 6371000     		dr = 106.969089999221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53939766-1.53944559) × cos(-1.21295203) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.350255900536444 × 6371000     		do = 106.954852807352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53939766-1.53944559) × cos(-1.21296882) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.350240174065623 × 6371000     		du = 106.950050540297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21295203)-sin(-1.21296882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350255900536444-0.350240174065623)×R²
    abs(1.53944559-1.53939766)×1.57264708209315e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57264708209315e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57264708209315e-05×40589641000000     		ar = 11440.6064291044m²