Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97641 / 101239
↖ ↑ ↗
← S 69.525873°
E 88.179016°		 ← 106.83 m → S 69.525873°
E 88.181763°		 →
↑
106.84 m
↓
↑
106.84 m
↓
S 69.526834°
E 88.179016°		 ← 106.83 m →
11 414 m²		 S 69.526834°
E 88.181763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.744945526123047 y=0.772396087646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.744945526123047 × 217)
    floor (0.744945526123047 × 131072)
    floor (97641.5)     		tx = 97641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772396087646484 × 217)
    floor (0.772396087646484 × 131072)
    floor (101239.5)     		ty = 101239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97641 / 101239 ti = "17/97641/101239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97641/101239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97641 ÷ 217
    97641 ÷ 131072     		x = 0.744941711425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101239 ÷ 217
    101239 ÷ 131072     		y = 0.772392272949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.744941711425781 × 2 - 1) × π
    0.489883422851562 × 3.1415926535     		Λ = 1.53901416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772392272949219 × 2 - 1) × π
    -0.544784545898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.71149112713486
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53901416} λ = 1.53901416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71149112713486))-π/2
    2×atan(0.180596299700016)-π/2
    2×0.17867046404057-π/2
    0.357340928081141-1.57079632675     		φ = -1.21345540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53901416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.179016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21345540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.525873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97641 KachelY 101239 1.53901416 -1.21345540 88.179016 -69.525873
    Oben rechts KachelX + 1 97642 KachelY 101239 1.53906210 -1.21345540 88.181763 -69.525873
    Unten links KachelX 97641 KachelY + 1 101240 1.53901416 -1.21347217 88.179016 -69.526834
    Unten rechts KachelX + 1 97642 KachelY + 1 101240 1.53906210 -1.21347217 88.181763 -69.526834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21345540--1.21347217) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dl = 106.841669999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21345540--1.21347217) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dr = 106.841669999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53901416-1.53906210) × cos(-1.21345540) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349784372634458 × 6371000     		do = 106.833150852245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53901416-1.53906210) × cos(-1.21347217) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349768661942202 × 6371000     		du = 106.828352402437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21345540)-sin(-1.21347217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349784372634458-0.349768661942202)×R²
    abs(1.53906210-1.53901416)×1.5710692256532e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5710692256532e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5710692256532e-05×40589641000000     		ar = 11413.9759115171m²